初中数学竞赛辅导资料(5) a的正整数次幂的个位数

初中数学竞赛辅导资料(5)

aⁿ的个位数

甲内容提要

1. 整数a的正整数次幂aⁿ,它的个位数字与a的末位数的n次幂的个位数字相同。例如2002³与2³的个位数字都是8。

2. 0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如5⁷的个位数是5，6²⁰的个位数是6。

3.       2，3，7的正整数次幂的个位数字的规律见下表：

其规律是：2的正整数次幂的个位数是按2、4、8、6四个数字循环出现，即2^4k+1与2¹，2^4K＋2与2²，2^4K＋3与2³，2^4K＋4与2⁴的个位数是相同的（K是正整数）。 3和7也有类似的性质。

4.  4，8，9的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用4＝2²，

8＝2³，9＝3²转化为以2、3为底的幂。

5. 综上所述，整数a的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：

a^4K＋m与a^m的个位数相同(k,m都是正整数。

乙例题

例1         2003²⁰⁰³的个位数是多少？

解：2003²⁰⁰³与3²⁰⁰³的个位数是相同的，

∵2003＝4×500＋3，

∴3²⁰⁰³与3³的个位数是相同的，都是7，

∴2003的个位数是7。

例2         试说明63²⁰⁰⁰＋147²⁰⁰²的和能被10整除的理由

解：∵2000＝4×500，2002＝4×500＋2

∴63²⁰⁰⁰与3⁴的个位数相同都是1，147²⁰⁰²与7²的个位数相同都是9，

∴63²⁰⁰⁰＋147²⁰⁰²的和个位数是0，

∴63²⁰⁰⁰＋147²⁰⁰²的和能被10整除。

例3         K取什么正整数值时，3^k＋2^k是5的倍数？

例4         解：列表观察个位数的规律

从表中可知，当K＝1，3时，3^k＋2^k的个位数是5，

∵a^m与a^4n+m的个位数相同（m,n都是正整数，a是整数）

;∴当K为任何奇数时，3^k＋2^k是5的倍数。

丙练习5

1，  在括号里填写各幂的个位数（K是正整数）

2²⁰ 的个位数是 （ ） 4⁵ 的个位数是（ ）

3³⁰的个位数是 （ ） 8⁷ 的个位数是（ ）

7^4K+1的个位数是 （ ） 

3¹¹＋7⁹ 的个位数是（ ）   2¹⁶×3¹⁴的个位数是（ ）

                            3^2k-1＋7^2k-1的个位数是（ ）

7^2k－3^2k 的个位数是（ ） 7^4k-1－6^4k-3的个位数是（ ）

77¹⁰×33¹⁵×22²⁰×55²⁵的个位数是（ ）

2，  目前知道的最大素数是2²¹⁶⁰⁹¹－1，它的个位数是＿＿＿。

3，  说明如下两个数都能被10整除的理由。

① 53⁵³－33³³ ② 1987¹⁹⁸⁹－1993¹⁹⁹¹

4，  正整数m取什么值时，3^m＋1是10的倍数？

5，  设n是正整数，试说明2 ⁿ＋7ⁿ⁺²能被5整除的理由。

6，  若a⁴的个位数是5，那么整数a的个位数是＿＿＿

若a⁴的个位数是1，那么整数a的个位数是＿＿＿

若a⁴的个位数是6，那么整数a的个位数是＿＿＿

若a^2k-1的个位数是7，那么整数a的个位数是＿＿＿

7,  1²+2²+3²+……+9²的个位数是＿＿，

1²+2²+3²+……+19²的个位数是＿＿，

1²+2²+3²+……+29²的个位数是＿＿。

8.  a,b,c是三个连续正整数，a²=14884,c²=15376,那么b²是（ ）

（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321

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参考答案见下页