分式的定义和有意义的条件

一、分式的定义和有意义的条件

1、分式的概念

一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$ rac{A}{B}$叫做分式。分式$ rac{A}{B}$中，$A$叫做分子，$B$叫做分母。

2、分式有意义的条件

分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0。即当$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}$才有意义。

3、分式的值为0的条件

当分式的分子等于0，且分母不等于0时，分式的值为0，即当$A=0$，且$B≠0$时，分式$ rac{A}{B}=0$。

4、分式的基本性质

（1）分式的基本性质

分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

即$ rac{A}{B}= rac{A·C}{B·C}$，$ rac{A}{B}= rac{A÷C}{B÷C}$$(C≠0)$，其中$A$，$B$，$C$是整式。

（2）约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

（3）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数约去它们的最大公约数，如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。

（4）最简分式：分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。

（5）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。

（6）通分法则：把两个或者几个分式通分，① 先求各个分式的最简公分母（即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂与所有不同因式的积）。② 再利用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式。③ 若分母是多项式，则先分解因式，再通分。

（7）最简公分母：各分式分母的所有因式的最高次幂的积，叫做最简公分母。

确定分式的最简公分母的步骤：

① 取各分式的分母中系数的最小公倍数。

② 各分式的分母中所有字母（或因式）都要取到。

③ 相同字母（或因式）的幂取指数最大的。

④ 所得的系数的最小公倍数与各字母（或因式）的最高次幂的积即为最简公分母。

5、分式的乘除

（1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

用式子表示为$ rac{a}{b}· rac{c}{d}= rac{a·c}{b·d}$。

（2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

用式子表示为$ rac{a}{b}÷ rac{c}{d}= rac{a}{b}· rac{d}{c}= rac{a·d}{b·c}$。

（3）乘方法则：一般地，当$n$是正整数时，

$left(displaystyle{} rac{a}{b}ight)^n=$$egin{matrix} underbrace{displaystyle{} rac{a}{b}· rac{a}{b}·cdots· rac{a}{b} }n个 end{matrix}=$$egin{matrix}n个 overbrace{egin{matrix} underbrace{displaystyle{} rac{a·a·cdots·a}{b·b·cdots·b}} n个 end{matrix}} end{matrix}=$$displaystyle{} rac{a^n}{b^n}$，即$left( rac{a}{b}ight)^n= rac{a^n}{b^n}$。

即分式乘方要把分子、分母分别乘方。

6、分式的加减

类似分数的加减，分式的加减法则是

（1）同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。

即：$ rac{a}{c}± rac{b}{c}= rac{a±b}{c}$。

（2）异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。

即：$ rac{a}{b}± rac{c}{d}= rac{ad}{bd}± rac{bc}{bd}= rac{ad±bc}{bd}$。

二、分式的定义的相关例题

把$ rac{1}{x-2}$，$ rac{1}{(x-2)(x+3)}$，$ rac{2}{(x+3)^2}$通分的过程中，不正确的是___

A．最简公分母是$(x-2)(x+3)^2$

B．$ rac{1}{x-2}= rac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$

C．$ rac{1}{(x-2)(x+3)}= rac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$

D．$ rac{2}{(x+3)^2}= rac{2x-2}{(x-2)(x+3)^2}$

答案：D

解析：选项A，最简公分母为$(x-2)(x+3)^2$，正确；选项B，$ rac{1}{x-2}= rac{(x+3)^2}{(x-2)(x+3)^2}$，正确；选项C，$ rac{1}{(x-2)(x+3)}= rac{x+3}{(x-2)(x+3)^2}$，正确；选项D，$ rac{2}{(x+3)^2}= rac{2(x-2)}{(x-2)(x+3)^2}= rac{2x-4}{(x-2)(x+3)^2}$，不正确，故选D。