知识归纳 | 数学:二次函数知识点梳理汇总

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中考学一学

2022-2-15 16:27:26 文/饶天成 图/邓鸿煊

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一、定义与定义表达式

1.定义

一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0),则称y为x的二次函数。

2.定义表达式中的一些性质

0时,开口方向向上;a<0时,开口方向向下。a的绝对值决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小,a的绝对值越小开口就越大。

二、二次函数的三种表达式

1.一般式:y=ax+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)

2.顶点式:y=a(x-h)+k

此式中抛物线的顶点为P(h,k)

3.交点式:y=a(x-x)(x-x)

此式需要抛物线与x轴有交点,两个交点分别为A(x,0)和B(x,0);特殊的,当抛物线与x轴只有一个交点时A点与B点重合,x=x

4.三种形式互相转化

在3种形式的互相转化中,有如下关系:

(1)h=-天利中考

(2)k=天利中考

(3)x,x=天利中考

三、二次函数的图象

依次取点,先列出表格,再在坐标系上描点,最后用平滑的曲线连接,可以发现,二次函数的图象是一条抛物线。

1.列表

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

y

9

4

1

0

1

4

9

2.描点

天利中考

3.连线

天利中考

四、抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形

对称轴为直线x=-天利中考,对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P。特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)。

2.抛物线顶点位置

设顶点为P,坐标为:P(-天利中考天利中考)。当-天利中考=0时,P在y轴上;当Δ=b-4ac=0时,P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小

当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。|a|越大,则抛物线的开口越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置

当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左侧;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右侧。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点

抛物线与y轴交于(0,c)。

6.抛物线与x轴交点个数

0时,抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点,x的取值没有实数。

五、二次函数与一元二次方程

在二次函数(以下称函数)y=ax+bx+c中,当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),即ax+bx+c=0。此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。

1.二次函数y=ax,y=a(x-h),y=a(x-h)+k,y=ax+bx+c(各式中,a≠0)的图象形状相同,只是位置不同。

它们的顶点坐标及对称轴如下表:

解析式

顶点坐标对称轴
y=ax(0,0)x=0
y=a(x-h)(h,0)x=h
y=a(x-h)+k(h,k)x=h
y=ax+bx+c(-天利中考天利中考x=-天利中考

0时,y=a(x-h)的图象可由抛物线y=ax向右平行移动h个单位得到。

(2)当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到。

0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向上移动k个单位,就可以得到y=a(x-h)+k的图象。

0,k<0时,将抛物线y=ax向右平行移动h个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

(5)当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

(6)当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)+k的图象。

因此,研究抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y=a(x-h)+k的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了,这给画图象提供了方便。

2.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的图象

0时,开口向上,当a<0时开口向下,对称轴是直线x=-b/2a,顶点坐标是(-天利中考天利中考)。

3.抛物线y=ax+bx+c(a≠0)的单调性

0,当x≤-天利中考时,y随x的增大而减小;当x≥-天利中考时,y随x的增大而增大。

(2)若a<0,当x≤-天利中考时,y随x的增大而增大;当x≥-天利中考时,y随x的增大而减小。

4.抛物线y=ax+bx+c的图象与坐标轴的交点

(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);

0,图象与x轴交于两点A(x,0)和B(x,0),其中的x,x是一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的两根.这两点间的距离AB=|x-x|。

(3)当△=0,图象与x轴只有一个交点;当△<0,图象与x轴没有交点;当△>0,a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实数时,都有y>0;当△>0,a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y<0。

5.抛物线y=ax+bx+c的最值

0,则当x=-天利中考时,y最小值=天利中考

如果a<0,则当x=-天利中考时,y最大值=天利中考

顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值。

六、用待定系数法求二次函数的解析式

1.当题给的条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为一般形式:y=ax+bx+c(a≠0)。

2.当题给的条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时,可设解析式为顶点式:y=a(x-h)+k(a≠0)。

3.当题给的条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0)。

七、二次函数考点

二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现。

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