2022鄂州中考数学压轴题分析2：等边三角形中几何求值问题

本题选自2022年鄂州中考数学填空压轴题，以等边三角形为背景，求一个三角形的周长，题目不是特别难，但是也不容易。是比较典型的题目，大家仔细研究。

【题目】

如图，在边长为6的等边△ABC中，D、E分别为边BC、AC上的点，AD与BE相交于点P，若BD＝CE＝2，则△ABP的周长为 ．

【答案】

【分析】

如图，根据条件，可以得到△ABD≌△BCE（SAS）。

那么就可以得到AD=BE，∠BAD=∠CBE，∠ADB=∠BEC。

那么进而可以得到∠APE=∠BAD+∠ABE=∠CBE+∠ABE=∠ABC=60°。

那么可以得到∠APB=120°。

遇到等边，可以考虑构造三线合一。如下图所示，同时过点A作BE的垂线。

根据条件可以得到△ADF∽△AEG。

由于BC=6，BD=2，那么可以得到DF=1，AF=3√3。

进而得到AD=2√7。

由于AE=CD=4，那么根据相似比例可以得到

AD/AE=AF/AG，即2√7/4=3√3/AG，

得AG=6√21/7。

同样根据比例可以得到GE=2√7/7。

那么在Rt△APG中，可以得到PG=6√7/7，AP=12√7/7。

由于BE=AD=2√7，那么就可以得到

BP=BE-PG-GE=2√7-6√7/7-2√7/7=6√7/7。

那么△ABP的周长为

AB+BP+AP=6+6√7/7+12√7/7=(42+18√7)/7。

【思路二】

如图，在BC上取一点M，是的CM=CE，连接EM，过点E作EN⊥BC于N。

那么可以得到BM=4，CM=CE=BD=2。

进而得到MN=CN=1，EN=√3，那么就可以得到BN=5，在Rt△BEN中，根据勾股定理可以得到BE=√(BN+EN)=2√7。

易得△CEM为等边三角形。那么就可以得到∠APB=∠BME=120°。

在思路一的基础上面可以得到∠ABP=∠CBE，那么就可以得到△ABP∽△BEM。

易得△BEM的周长为BM+EN+BE=4+2+2√7=6+2√7。

而△ABP与△BEM的相似比为AB/BE=6/2√7=3√7/7。

所以可以得到△ABP的周长为(6+2√7)×3√7/7=(42+18√7)/7。

【思路三】

如图，构造相似三角形就可以了。

根据比例，可以得到AQ=2BC=12，EQ=2BE=4√7。

那么就可以得到AQ=6BD。

那么就可以得到AP=6PD，得到AP=6AD/7，也就是AP=12√7/7。

得到PQ=6BP，那么得到BP=BQ/7=6√7/7，

则△ABP的周长为AB+BP+AP=6+6√7/7+12√7/7=(42+18√7)/7。

这种方法更直接一点。

当然熟悉梅涅劳斯定理的同学还可以用相关的知识进行求解。

【总结】

几何求值主要还是利用直角三角形或者其他特殊三角形，根据勾股定理、相似和三角函数等知识进行求解。

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