2022鄂州中考数学压轴题分析1：造桥选址问题（平移型最短路径）

本题之前在QQ群有同学问过这道题目，当时没有特别留意，才发现原来这是今年湖北鄂州中考数学的选择压轴题。题目图形较为复杂，有一定难度。同学们可以仔细研究下，如何把复杂的问题化为转化为已知的问题进行求解。

【题目】

如图，定直线MN∥PQ，点B、C分别为MN、PQ上的动点，且BC＝12，BC在两直线间运动过程中始终有∠BCQ＝60°．点A是MN上方一定点，点D是PQ下方一定点，且AE∥BC∥DF，AE＝4，DF＝8，AD＝24√3 ，当线段BC在平移过程中，AB+CD的最小值为（ ）

A．24√3

B．24√15

C．12√13

D．12√15

【答案】C

【分析】

本题的条件比较多，也比较复杂，需要进行仔细的分析。

首先，目标是求AB+CD的最小值。

可以发现点A与点D为平面内的定点，而MN与PQ为互相平行的定直线。

由于BC与两直线的夹角∠BCQ=60°始终保持不变。可以得到BC的长也是不变的。

但是随着BC的一动，AB与CD的长度会发生变化。而AB与CD中间隔了BC。这个和教材中的造桥选址问题是一样的。只是桥变成斜的了。那么作法还是一样的。先把BC两个点合并到一起。也就是说经过平移，使得点B与点C重合。此时线段AB与CD就连接在一起了，可以不考虑中间BC长度的影响。

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如图，过点A作BC的平行线AA′，并在AA′上截取线段AA′=BC，连接CA′，那么就可以得到四边形ABCA′为平行四边形，则AB=CA′，那么求AB+CD的最小值问题就可以转化为了求CA′+CD的最小值了。

那么什么时候CA′+CD最小呢，也就是当点A′，C和D三点共线时最小，如下图所示。

如图，AB+CD＝CA′+CD≥A′D，当且仅当点A′、C、D三点共线时取得最小值为A′D的长度。

那么怎么求A′D的长度呢？一般考虑利用特殊三角形等性质。标出已知条件如下：

延长AA′，过点D作MN的平行线，它们交于点G。可以得到AE=4，GE=12+8=20，那么AG=24，已知AD=24√3，∠G易得为60°。

那么可以发现△ADG为含60°角的直角三角形，∠DAG=90°。那么要求A′D的长度就不难了。直接在Rt△AA′D中求解即可。

AA′=BC=12，AD=24√3。

那么可以得到A′D=√(AD+AA′)=12√13。

下面是动图演示BC运动过程中AB与CD和的变化情况。（备注：其中长度是原图中的长度，与题目的数据没有进行转换。）

这里还有一个疑问就是如何证明∠DAG=90°，很多同学对此可能有疑问。

也就是说∠G=60°，AD=√3AG，怎么证明∠GAD为直角。

一种方法是根据高中的余弦定理，直接求出cos∠DAG，然后得到∠DAG的大小。

另一种思路就是根据初中阶段的知识，过点A作DG的垂线，构造直角三角形进行求解即可。

如图，∠G=60°，AH⊥DG，那么就可以得到GH=1/2AG=12了，则AH=√3GH=12√3，由于AD=24√3，那么就可以得到DH=36，进而得到DG=48。

此时AG=24，AD=24√3，DG=48，根据勾股定理的逆定理，就可以得到这是一个直角三角形，∠DAG=90°。

【总结】

造桥选址类问题，常常把两个断开的点，通过平移进行转化。然后再根据两点之间线段最短得到结论。本题另一个难点就是求线段的长度。当然万变不离其宗。

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