2022齐齐哈尔中考数学压轴题分析2：正方形的存在性问题

本题选自2022年齐齐哈尔中考数学压轴题，考查正方形的存在性问题，属于较为典型的题目。一般此类问题转化等腰直角三角形的存在性问题，构造三垂直模型进行求解，具体请看分析。

【题目】

（2022齐齐哈尔）综合与探究如图，某一次函数与二次函数的图象交点为，．（1）求抛物线的解析式；（2）点为抛物线对称轴上一动点，当与的和最小时，点的坐标为 ；（3）点为抛物线位于线段下方图象上一动点，过点作轴，交线段于点，求线段长度的最大值；（4）在（2）条件下，点为轴上一点，点为直线上一点，点为平面直角坐标系内一点，若以点，，，为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标．

【分析】

（1）求解析式，待定系数法。

将，代入得，，，抛物线的解析式为。（2）当点A、C、B三点共线时AC+BC最小，最小值为AB的长。那么只需求出AB的解析式，令x=1即可，得到点C的坐标为（1，2）。

（3）本小题求线段DE的最大值，其实以往较多出现的是三角形面积的最大值，本质是一样的，只是转化为求铅垂高的最大值而已，方法都是设点坐标，然后相减，得到关于x的二次多项式求最值。

如图，设点D（x，x-2x-3），则E（x，x+1），

那么可以得到DE=-x+3x+4，

可以得到当x=3/2时，得到DE的最大值为25/4。

（4）本题是一定三动型正方形的存在性问题。但是只要确定了三点的坐标，那么第四点的坐标就确定了。

已知点C（1，2），而点F在AB上，那么就可以进行分类讨论。

①若∠MCF=90°，可以得到如下图形。

过点C作CM⊥AB，以CM为边构造正方形，可以分为上下两种情况，此时得到点N的坐标分别为（-1，2）和（1，4）。

②当∠CMF=90°时，可以得到如下的图形。那么可以得到点N的坐标为（1，1）。

③当∠CFM=90°时，可以得到如下图形。

那么就可以得到点N的坐标为（1/2，5/2）。

【总结】

存在性问题，一般均需要讨论，需要根据边或角的关系进行分类讨论，再求解即可。

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