2022齐齐哈尔中考数学压轴题分析1：矩形中点与折叠问题

本题选自2022年齐齐哈尔中考数学几何压轴题，以矩形为背景，考查中点、轴对称和旋转等内容，主要以线段的数量关系为主。难度不大。是一道探究型题目，值得看看。

【题目】

（2022齐齐哈尔）综合与实践

数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学，数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的美，体会数学实践活动带给我们的乐趣．转一转：如图①，在矩形中，点、、分别为边、、的中点，连接、，为的中点，连接．将绕点旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．当绕点顺时针旋转时，请解决下列问题：

（1）图②中，，此时点落在的延长线上，点落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）图③中，，，则 ；

（3）当，时， ．剪一剪、折一折：（4）在（2）的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④．点、分别在、上，连接，将沿翻折，使点的对应点落在的延长线上，若平分，则长为 ．

【分析】

（1）如下图，根据全等与中位线定理可以得到GH=1/2AF=1/2CE。

（2）本小题与上一题类似，只是把正方形改成了矩形那么方法还是类似，只是全等边成了相似而已。

易得△ABF∽△CBE，那么可以得到AF/CE=2/3，由于GH=1/2AF，所以可以得到GH=1/3CE，也就是说比值为1/3。

（3）当AB=m，BC=n时，结论是类似的，根据相似可以得到GH=1/2AF=CE·m/2n，那么比值就是m/2n。

（4）根据折叠与平分，可以得到∠APM=∠NPM=∠C，那么就可以得到PM⊥AM，还可以得到△AMP∽△ABC。

已知AB=2，BC=3，那么就可以得到AC=√13。

设CM=x，则PM=x，AM=√13-x，

那么根据相似可以得到AM/AB=PM/CB，

即(√13-x)/2=x/3，解得x=3√13/5。结论就出来了。

本题主要考查勾股定理与相似。

【总结】

解题关键是抓住问题，以及题目的条件，两两结合进行求解。

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