2022北部湾中考数学压轴题分析1：正方形中求三角形的周长

本题选自2022年北部湾中考数学第18题，即填空压轴题。以正方形为背景，考查线段求值的问题。

题目较为复杂，需要仔细理清图中三角形的关系，以及线段的关系，通过相似、三角或勾股定理求解。

此类题目必须掌握。

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【题目】

如图，在正方形ABCD中，AB=4√2，对角线AC，BD相交于点O．点E是对角线AC上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE，分别交CD，BD于点F，G，连接BF，交AC于点H，将△EFH沿EF翻折，点H的对应点H′恰好落在BD上，得到△EFH′．若点F为CD的中点，则△EGH′的周长是 ．

【答案】5+√5。

【分析】求△EGH′的周长就是求该三角形的三边长，当然也可以转化为求△EGH的周长。

先把容易求的线段长度表示在图中。

如上图，根据Rt△BOE∽Rt△EOG，

可以得到OG=1，EG=√5。

根据折叠可以得到∠FEH=∠FEH′。

那么根据角平分线分线段成比例，可以得到

EO/EH'=OG/GH'，则EH'=2GH'。

设GH′=x，则EH′=2x，

在Rt△EOH′中根据勾股定理得，

EO+OH′=EH′，

即2+(1+x)=(2x)，

解得x1=-1（舍去），x2=5/3。

则△EGH′的周长为5+√5。

【方法二】

如图，连接GH，根据轴对称得△EGH≌△EGH′。

那么求出OH与GH的长即可。

观察上图，可以发现一个“X字型”相似，即△ABH∽△CFH，

那么就可以得到AH/CH=AB/CF=2/1。

由AC=8得CH=8/3，则OH=4/3。

那么根据勾股定理可以得到GH=5/3，

那么△EGH的周长为2+4/3+5/3+√5=5+√5。

【方法三】

如上图，过点E作EM⊥AB，可以得到EM与MB的比为1:3。

再根据△BEM∽△BHO，可以得到OH/OB=1/3，

那么就可以得到OH=4/3，进而得到GH的长为5/3，

与上面的方法类似，得到周长为5+√5。

在这里求出tan∠OBH=1/3，其实也可以利用高中三角恒等变换公式中的正切的差角公式。

tan∠OBH=tan(45°-∠OBE)=1/2/(1+1/2)=1/3。

【方法四】

如果考虑用函数的方法也可以，以点B为坐标原点，建立平面直角坐标系。

得到BE的解析式为y=3x，

直线AC的解析式为y=-x+4√2，

直线BF的解析式为y=1/2x，

直线EF的解析式为y=-1/3x+10√2/3，

直线BD的解析式为y=x。

求得点E的坐标为（√2,3√2），

点H的坐标为（8√2/3,4√2/3），

点G的坐标为(5√2/2,5√2/2)。

根据勾股定理或者两点间的距离公式，可以得到

EH=10/3，GH=5/3，EG=√5，

那么周长就为5+√5。

【总结】

本题以正方形为背景，是比较特殊的图形，在中考中经常会出现，特别是在选填压轴题或者解答的压轴题中。

本题还有其它的一些特殊性质，如下图中，有四点共圆，以及相似等等。

本题的关键还是在于求出OH或者GH′的长。