2022深圳中考数学压轴题分析1:45°与辅助线构造

本题选自2022年深圳中考数学填空压轴题，以45°角为背景，考查几何求值问题，涉及与45°有关的辅助线构造，以及勾股、相似等知识。

【题目】

（2022深圳）已知△ABC是直角三角形，∠B＝90°，AB＝3，BC＝5，AE＝2√5，连接CE，以CE为底作直角三角形CDE，且CD＝DE．F是AE边上的一点，连接BD和BF，且∠FBD＝45°，则AF长为 ．

【答案】3√5/4。

【分析】本题的难点在于CD与BC不一定垂直，也就是说点E是一个动点，绕着点A不断旋转都可以。也说明了点E在什么位置都不影响结果，那么就可以考虑用特殊值法来求解。

什么意思呢，直接令CD与BC垂直，求出特殊值，毕竟这是一道填空题。

先标记出数据，然后延长DE与AB交于点G，由于AE=2√5，那么就可以算出CD=DE=1，AG=2，BG=1，此时GE=4。

由于∠DBF为45°，所以考虑构造等腰指教三角形。

过点F作FH⊥BD，然后过点H作BC的垂线，过点F作BC的平行线。

设HN=x，表示出其它的边长，可以发现AB=8x，那么就可以得到x=3/8。

那么AP=3/4，此时可以得到AF=3√5/4。

上面的图，也可以建立平面直角坐标系，然后用函数等知识进行求解。

上面纯粹用了特殊的点和特殊的位置，如果是解答题则必须有严格的过程。

那应该怎么下手呢？

还是从45°入手，依然是构造等腰直角三角形。

如上图，过点D作DG⊥BD，交BF的延长线于点G。

如上图，连接GE，可以得到△CBD≌△EGD（SAS），此时可以得到∠CBD=∠EGD，进而可以得到∠ABG=45°﹣∠CBD=∠EGF，

得到AB与GE平行，此时△ABF∽△EGF，那么就可以得到AF/EF=AB/GE=3/5。

那么就可以得到AF=3/8AE=3√4/4。

当然，也可以将上面的△BCD放大并旋转至△GCE，使得△GCE∽△BCD，连接GB。

此时，可以得到CG=√BC，得到△BCG为等腰直角三角形，∠CBG=90°，BG=BC=5。

此时点A、B、G三点共线，△ABF∽△AGE，AF/AE=AB/AG=3/8。

如上图，将△DEF绕点D逆时针旋转90°至△DCG，连接AC、GC，BG与FG。

因为∠DBF=∠DGF=45°，此时可以得到B、G、D、F四点共圆，那么就可以得到∠FBG=∠ABC=90°，

∠BGC=180°-∠BFD-∠DGC

=180°-∠BFD-∠DFE

=∠AFB。

所以可以得到△ABF∽△CBG。

此时可以得到AF/EF=AF/CG=3/5。

如图，过点F作FG∥AB，过点E作EG∥BF，且FG与EG交于点G。EG与BD交于点M，连接CM并延长交BF于点N，过点F作FP⊥EG。

易得△ABF∽△FGE。

因为EG∥BF，所以∠EMD=∠FBD=45°。

又因为∠EMD=∠ECD=45°，所以点C、D、E、M四点共圆，

则∠CME=90°。

此时可以得到∠MNF=∠NFP=∠FPM=∠NMP=90°，

则四边形MNFP为矩形，得FP=MN=BN。

此时可以根据AAS或者ASA证明△BNC≌△FPG，

得FG=BC=5，

那么就可以得到AF/FE=AB/FG=3/5。

【总结】

本题主要是根据45°这个特殊角进行构造辅助线，再得到相似，求出AF与FE的比值，进而求出AF的长。