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本题选自2022年广州市中考数学倒数第2题,属于函数压轴题,具有地方特色,与去年的题目有一定的关联。
本题主要考查一次函数与二次函数的图象与性质,主要是考查最值问题。难度一般,题目考查的方式比较典型,值得研究。
【题目】
(2022广州)已知直线经过点和点.(1)求直线的解析式;(2)若点在直线上,以为顶点的抛物线过点,且开口向下.①求的取值范围;②设抛物线与直线的另一个交点为,当点向左平移个单位长度后得到的点也在上时,求在的图象的最高点的坐标.
【分析】
(1)题(1)比较简单,直接待定系数法,代入求解即可。
得
解得
得到直线的解析式为
。
(2)①由于点P在直线l上,那么可以得到m与n的关系。然后根据顶点式得到抛物线G的解析式。
得n=﹣m+7,
那么抛物线的解析式为:
y=a(x-m)-m+7。
代入点G的坐标得
那么抛物线的解析式为
。
由于抛物线的开口向下,所以可以得到a<0,那么就可以得到m的取值范围了。
。
所以m的取值范围是
。
②题目已知直线l与G的另一个交点平移之后也在G上,根据这个条件就可以得到m的值,再最给定区间的最值即可。
联解析式,得
,则,则,。那么点Q的横坐标为
。
向左平移1个单位长度后Q′的横坐标为
。
由于它们都在抛物线上,且QQ′平行于x轴,说明他们两个是抛物线上的对称点,那么就可以得到它们两个点关于抛物线的对称轴成对称。
可以得到
。
则a的值为﹣2,
,解得,。
此时需要根据m的取值进行分类讨论:
当时,,此时抛物线的对称轴为直线,图象在上的最高点坐标为。当时,,此时抛物线的对称轴为直线,图象在上的最高点坐标为。综上所述,在的图象的最高点的坐标为或。
【总结】
二次函数有关的问题,需要根据自变量的取值范围进行求解。此类问题在《中考数学压轴题全解析·解答题》P293页中的11.3专题有专门的讲解。
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