2022广东中考数学压轴题分析：三角形面积最大值

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本题选自2022年广东中考数学压轴题，难度为往年最简单的一次。不仅简单，而且也是比较常见的类型。

【题目】

（2022广东）如图，抛物线y＝x+bx+c（b，c是常数）的顶点为C，与x轴交于A，B两点，A（1，0），AB＝4，点P为线段AB上的动点，过P作PQ∥BC交AC于点Q．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）求△CPQ面积的最大值，并求此时P点坐标．

【分析】

（1）知道点A的坐标及AB的长度，可以得到点B的坐标，进而代入解析式可以得到结论，求得抛物线的解析式为：

y＝x+2x-3。

（2）求△CPQ面积最大时点P的坐标，一般先设点P的坐标，再用点P的坐标表示出图中线段的长度，求得△CPQ面积的表达式，用配方法得出最值及此时点P的坐标。

本题的关键是用未知数表示△CPQ的面积。首先想到的方法是割补法，如S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，或S△CPQ＝S△ABC﹣S△PCB﹣S△PQA，或者根据PQ与BC的比，得出△PCB与△CPQ的面积比。

【方法一】

如图，过点C作CD⊥AB于D，过点Q作QE⊥AB于E。

设P（m，0），则PA＝1﹣m，PB＝3＋m。∵，∴C（﹣1，﹣4）。∴CD＝4。∴，。∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA。∴。∴。∴。∵，∴当m＝﹣1时 有最大值2。∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）。

【方法二】如图，过点C作CD⊥AB于D，过点Q作QE⊥AB于E。

设P（m，0），则PA＝1﹣m。∵，∴C（﹣1，﹣4）。∴CD＝4。∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA。∴，即。∴QE＝1﹣m。∴。∵，∴当m＝﹣1时 有最大值2。∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）。

【方法三】如图，过点C作CD⊥AB于D，过点Q作QE⊥AB于E。

设P（m，0），则PA＝1﹣m，PB＝3＋m。∵，∴C（﹣1，﹣4）。∴CD＝4，BD＝2。∴。在Rt△BCD中，BC＝＝＝。∵PQ∥BC，∴△PQA∽△BCA，。∴，即。∴PQ＝。∴。∵，∴当m＝﹣1时 有最大值2。∴△CPQ面积的最大值为2，此时P点坐标为（﹣1，0）。

【总结】

虽然图形与辅助线都是一样的，但是出发点略有不同，都是通过表示△PCQ的面积来取得最值。