2022兰州中考数学分析2：正方形有关的模型3

本题选自2022年兰州中考数学压轴题，以正方形为背景，原题来源人教版八年下课本的复习题。本题的模型近两年出现的特别多，值得关注。

一道课本习题解法大全

一道课本习题的变式题

【题目】

（2022兰州）综合与实践

【问题情境】

数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

【思考尝试】

（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题．

【实践探究】

（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题．

【拓展迁移】

（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．

【分析】

（1）AE与EP相等，即△AEP为等腰直角三角形。证明方法根据提示即可。

得到△MBE为等腰指教三角形，再根据ASA得到△AME≌△ECP。

无论点E是否为中点，结论都成立。

（2）本小题修改了条件把AE=EP这个结论改为条件，把CP这个角的平分线改为结论，可以发现∠DCP为45°。

作法与上题一样，在AB上取一点N，使得BN=BE，连接EN。

得到△BNE为等腰直角三角形，然后再得到△ANE≌△ECP（SAS）。

（3）在（2）的结论下，可以得到点P在正方形的外角平分线上运动，即点P的轨迹线段，点P为定点，点A、D为动点，使得△ADP的周长最小属于将军饮马问题，作对称即可解决。

作点D关于CP的对称点D′，连接AD′与CP交于点P′。

此时A、P′、D′三点共线，△ADP的周长为AD′+AD的值，为4＋4√5。

【总结】

本题解法多样，具体可以看前面的两个链接。

【母题溯源】

人教版数学·八年下·第十八章·复习题·第14题·P69

题目的结论把证明AE=EF，变为求CF与BE的关系，本题的关键还是在于证明AE=EF．

《中考数学压轴题全解析·解答题》第140页还有更多与正方形有关的模型介绍：