2022兰州中考数学压轴题分析1:一次函数与新定义

中考数学解题方法,艺考

中考数学解题方法

2022-8-18 10:23:01 文/潘娜 图/戴伟

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本题内容选自2022年兰州中考数学倒数第2题,以一次函数为背景,考查新定义,题目新颖,内容较为简单。

【题目】


(2022兰州)在平面直角坐标系中,

是第一象限内一点,给出如下定义:和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”.(1)求点的“倾斜系数”的值;(2)①若点的“倾斜系数”,请写出和的数量关系,并说明理由;②若点的“倾斜系数”,且,求的长;(3)如图,边长为的正方形沿直线运动,是正方形上任意一点,且点的“倾斜系数”,请直接写出的取值范围.

中考数学压轴题


【分析】

(1)由于a=6,b=2,则a>b,所以倾斜系数k=3。

(2)①∵点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,

那么a/b=2或b/a=2,

所以a=2b或b=2a。

②由于倾斜系数有两种情况,所以需要分类讨论。

当a>b时,可以得到a=2b,因为a+b=3,

那么a=2,b=1,即P(2,1)。

此时OP=√5。

当a<b时,同理得P(1,2)。

此时OP=√5。

(3)题目的要求是k<√3。那可以找出k=√3这种临界情况。

中考数学压轴题

连接OP,可以发现只写OP解析式y=kx中的k与倾斜系数有关。

我们可以确定临界值,当k=√3。

如果k=√3,那么就可以得到a/b=√3,或者b/a=√3。

此时可以画出函数y=√3x或者y=√3x/3,如上图虚线所示。

当倾斜系数k<√3时,可以得到点P在这两条直线之间的位置。

由于正方形上的所有点都满足,所以正方形必须在两条线的内容部。

中考数学压轴题

因为点P(a,b),

当点P与点B重合时,b=a-2,

因为倾斜系数k<√3,所以a/(a-2)<√3,

则a>√3+3。

当点P与点D重合时,b=a+2,

因为倾斜系数k<√3,所以(a+2)/a<√3,

则a>√3+1。

综上所述,可以得到a的取值范围为a>√3+3。

中考数学压轴题

如上图所示,点D始终在y=x+2上运动,

点B始终在y=x-2上运动,

当他们位于绿色区域时,满足题意,所以a>√3+3,否则有部分点不能满足条件。

中考数学压轴题


【总结】

本题实际考查的是直线的斜率问题,在新定义的包装之下,看起来比较难理解,实际上还是比较简单的。

抓住正比例函数y=kx中k的几何意义即可。

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