本题内容选自2022年兰州中考数学倒数第2题,以一次函数为背景,考查新定义,题目新颖,内容较为简单。
【题目】
(2022兰州)在平面直角坐标系中,
是第一象限内一点,给出如下定义:和两个值中的最大值叫做点的“倾斜系数”.(1)求点的“倾斜系数”的值;(2)①若点的“倾斜系数”,请写出和的数量关系,并说明理由;②若点的“倾斜系数”,且,求的长;(3)如图,边长为的正方形沿直线运动,是正方形上任意一点,且点的“倾斜系数”,请直接写出的取值范围.
【分析】
(1)由于a=6,b=2,则a>b,所以倾斜系数k=3。
(2)①∵点P(a,b)的“倾斜系数”k=2,
那么a/b=2或b/a=2,
所以a=2b或b=2a。
②由于倾斜系数有两种情况,所以需要分类讨论。
当a>b时,可以得到a=2b,因为a+b=3,
那么a=2,b=1,即P(2,1)。
此时OP=√5。
当a<b时,同理得P(1,2)。
此时OP=√5。
(3)题目的要求是k<√3。那可以找出k=√3这种临界情况。
连接OP,可以发现只写OP解析式y=kx中的k与倾斜系数有关。
我们可以确定临界值,当k=√3。
如果k=√3,那么就可以得到a/b=√3,或者b/a=√3。
此时可以画出函数y=√3x或者y=√3x/3,如上图虚线所示。
当倾斜系数k<√3时,可以得到点P在这两条直线之间的位置。
由于正方形上的所有点都满足,所以正方形必须在两条线的内容部。
因为点P(a,b),
当点P与点B重合时,b=a-2,
因为倾斜系数k<√3,所以a/(a-2)<√3,
则a>√3+3。
当点P与点D重合时,b=a+2,
因为倾斜系数k<√3,所以(a+2)/a<√3,
则a>√3+1。
综上所述,可以得到a的取值范围为a>√3+3。
如上图所示,点D始终在y=x+2上运动,
点B始终在y=x-2上运动,
当他们位于绿色区域时,满足题意,所以a>√3+3,否则有部分点不能满足条件。
【总结】
本题实际考查的是直线的斜率问题,在新定义的包装之下,看起来比较难理解,实际上还是比较简单的。
抓住正比例函数y=kx中k的几何意义即可。
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