本题选自2022年甘肃中考数学压轴题,以二次函数为背景,考查轴对称的性质与几何最值的问题,难度中等,题目考查的方式也是近两年偶尔会出现的小趋势。
【题目】
如图1,在平面直角坐标系中,抛物线与轴交于,两点,点在轴上,且,,分别是线段,上的动点(点,不与点,,重合).
(1)求此抛物线的表达式;(2)连接并延长交抛物线于点,当轴,且时,求的长;
(3)连接.①如图2,将沿轴翻折得到,当点在抛物线上时,求点的坐标;
②如图3,连接,当时,求的最小值.
【分析】
(1)把点B的坐标代入即可得到a的值,抛物线的解析式为。
。
(2)本题也比较简单,根据AE的长,得出点E、D、P的坐标即可。
因为点A的坐标为(-3,0),所以可以的得到点E的坐标为(-2,0)。
在抛物线上,当x=-2时,y=-3/2。
在AC上,直接利用平行线分线段成比例得到结论:
DE/OC=AE/OA,那么可以得到DE=4/3。
所以DP=DE+PE=4/3+3/2=17/6。
(3)①将△BCD沿x轴翻折至下方的△BGF,使得点G在抛物线上,并求此时点G的坐标。
通过观察图形,可以发现点D与G关于x轴对称,也就是说点D与G的横坐标相等,纵坐标互为相反数。那么就可以建立等量关系求解了。
先求直线AC的解析式为y=4/3x+4,设点D的坐标为(m,4/3m+4),得到点G的坐标为(m,-4/3m-4),再代入二次函数的解析式即可:
1/4m-1/4m-3=-4/3m-4,
解得m1=-3(舍去),m2=-4/3。
那么点G的坐标就确定了,G(-4/3,-20/9)。
②本题的条件是CD=AE,要求的是CE+BD的最小值。
本题的特点就是两个线段没有公共点,所以需要进行适当的转化。由于点D和E分别为动点,那么如何转换到一起呢?
可以通过构造全等的方式进行转化。
如上图,过点C作CH∥AE,且使得CH=AC,
那么就可以得到△ACE≌△CHD(SAS),
那么CE就可以转化为HD了。
求BD+CE的最小值就可以转化为求BD+HD的最小值了。
观察可以发现当点H、D、B三点共线时,取最小值,此时最小值为BH的长。
那么只需要求出BH的长即可,通过过点H作AB的垂线,利用勾股定理可以得到BH=√(4+9)=√97。
当然,本题还可以有其它的构造方式,例如把BE转换到x轴的下方,但是构图没有作平行这么直接,所以上面的方法是最直接的。
或者像下面这样构造,本质上都是一样的。
本题与2022年遵义中考数学的填空压轴题类似。
【总结】
(3)①中使得点G落在抛物线上,只需使得点G的坐标代入抛物线的解析式能够成立即可。
(3)②是几何最值的问题,最终转化为将军饮马,或者直接利用两点之间线段最短进行求解即可。
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