2022甘肃中考数学压轴题分析1：正方形

本文内容选自2022年甘肃中考数学倒数第二题，以正方形为背景的几何压轴题，难度不大。

【题目】

已知正方形，为对角线上一点．

【建立模型】（1）如图1，连接，．求证：；

【模型应用】（2）如图2，是延长线上一点，，交于点．①判断的形状并说明理由；②若为的中点，且，求的长．

【模型迁移】（3）如图3，是延长线上一点，，交于点，．求证：．

【分析】

（1）题目证明两条线段相等BE=DE。最直接的思路就是证明三角形全等，可以发现△ABE≌△ADE（SAS），根据正方形的性质直接可以得到。

其实，正方形是轴对称图形，直线AC为正方形ABCD的对称轴，直接根据轴对称的性质，可以得到BE=DE。

如下图，换个思路，可以得到AC垂直平分BD，根据垂直平分线的性质得到BE=DE。（本质上仍然是轴对称的性质）。

（2）①要判断△FBG的形状，观察发现△FBG为等腰三角形，其中FG=FB。

证明等腰的思路可以证明两个角相等。

如上图，∠FBG=90°﹣∠ABE

=90°﹣∠ADE

＝∠AGE

＝∠FGB，

则FG=FB。

②当点G经过AB的中点且AB=4时求AF的长，需要给AF一个直角三角形。可以先把已知条件标记在图中。

如下图，过点F作FH⊥AB，垂足为H。

那么就可以得到BH=GH=1，而又可以得到一组相似，得到△ADG∽△HFG，

进而得到FH=1/2DG=2。

那么在Rt△AFH中，可以得到

AF=√（FH+AH）=√（4+9）＝√13。

（3）最后一问虽然结论看起来复杂，但是其实可以直接得出，并没有特别的难度。

因为BF=BE，∠EBF=90°，所以可以得到△BEF为等腰直角三角形。

那么就可以得到

GE=EF-FG=EF-FB=EF-BE

=√2BE-BE

=（√2-1）BE

=（√2-1）DE。

【总结】

本题是一道以正方形为背景的几何压轴题，主要考查正方形的性质、等腰直角三角形的性质与勾股定理等知识，题目常规，难度不大。