2022重庆中考数学压轴题分析3：平行四边形的存在性问题

本文内容选自2022年重庆中考数学（B卷）倒数第2题，属于函数压轴题。与A卷的题目差不多，换汤不换药。

2022重庆中考数学压轴题分析1：平行四边形的存在性问题

【题目】

如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）点为直线上方抛物线上一动点，过点作轴于点，交于点，求的最大值及此时点的坐标；（3）在（2）的条件下，点与点关于抛物线的对称轴对称．将抛物线向右平移，使新抛物线的对称轴经过点．点在新抛物线上，点在上，直接写出所有使得以点、、、为顶点的四边形是平行四边形的点的坐标，并把求其中一个点的坐标的过程写出来．

【分析】

（1）根据待定系数法，代入点坐标进行求解即可。

解得抛物线的解析式为：

。

（2）本题的问法与A卷中的类似，都是求线段和的最大值。方法也是类似，用未知数表示出线段和即可。

首先设，则，。

再用m表示出PM与AM即可。

已知点A（4，0）和B（0，3），可以得到OA=4，OB=3，

那么根据勾股定理可以得到AB=5。

根据相似或三角函数，可以得到MQ=3/5AM。

。

那么就可以得到当m=1时PM+6/5AM取最大值，此时最大值为27/4，点P的坐标为（1，4.5）。

（3）根据题意，需要对抛物线进行向右平移，使得对称轴经过点A，那么就可以确定新抛物线的解析式以及图象了。

原抛物线的解析式得对称轴为，则可以得到点P′的坐标为（2，9/2）。因为点A（4，0），所以可以得到新抛物线的对称轴为x=4，也就是说抛物线向右平移了5/2个单位长度。

那么新抛物线的解析式为：。

画出图形，标出大致的点的位置，再进行分类讨论求解。

如图，点P′和点A为定点，其中点C和点D为动点。

设，。

①如上图，四边形ACP′D为平行四边形，点C、D为对角线的顶点，点A、P′为对角线的顶点，那么就可以得到：

，解得。

求出点D的坐标为

。

②四边形AP′CD为平行四边形，点A、C为对角线的顶点，点D、P′为对角线的顶点，那么就可以得到：

，解得。

求出点D的坐标为

。

③四边形ACDP′为平行四边形，点A、D为对角线的顶点，点C、P′为对角线的顶点，那么就可以得到：

，解得。

求出点D的坐标为

。

此类问题主要是利用顶点之间的坐标关系建立方程求解。

【总结】

平行四边形存在性的问题有多种方法可以求解，主要是根据题目的条件进行分类讨论，设点坐标建立等量关系。

方法介绍可以点击下面这篇文章：

平行四边形存在问题的坐标求法

中点坐标公式如下（《中考数学压轴题全解析》P203页）：