2022重庆中考数学压轴题分析2：余弦和差角公式求线段比值

本题内容选自2022年重庆中考数学（A卷）的压轴题，以等边三角形为背景，考查线段的数量关系与解三角形，难度较大。但如果最后一问用高中的数学公式，可以快速求解。

具体请看下面的分析。

【题目】

如图，在锐角中，，点，分别是边，上一动点，连接交直线于点．

（1）如图1，若AC" data-formula-type="inline-equation" >，且，，求的度数；

（2）如图2，若，且，在平面内将线段绕点顺时针方向旋转得到线段，连接，点是的中点，连接．在点，运动过程中，猜想线段，，之间存在的数量关系，并证明你的猜想；

（3）若，且，将沿直线翻折至所在平面内得到，点是的中点，点是线段上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接．在点，运动过程中，当线段取得最小值，且时，请直接写出的值．

【分析】

（1）求∠CFE的度数，那么就需要找相关的条件。

∠BCD和∠CBE相等，可以得到△BCF为等腰三角形，那么只需要求出这三角形的任意一个内角就可以了。

已知∠A=60°，但是似乎用不上。

题目还给出BD=CE，而且BC为一组公共边，可以发现△BCD与△BCE这两个三角形两边相等且一个对角相等，也就是SSA，但是不全等。所以可以考虑构造三角形全等。

如上图，延长CD至点G，使得CG=BE，那么就可以根据SAS得到△BCG≌△CBE（SAS）。

根据全等可以得到∠CEB=∠G，再根据BD=CE=BG，得到∠G=∠BDG=∠ADC，那么就可以得到∠ADC=∠CEB了，再根据四边形的内角和，可以得到∠CFE=∠A=60°。

当然，通过截取的方式构造全等也是可以的。

还可以作垂线，如下图所示，方法都是类似的。

（2）题目要探究的是BF、CF和CN之间的数量关系，根据直觉，很容易猜想需要把BF与CF加起来，然后再与CN进行比较。

已知AB=AC且∠A=60°，那么就可以得到△ABC为等边三角形。

题目的条件是BD=AE，可以继续从这个条件先入手。

根据条件可以得到△BCE≌△CAD（SAS），那么进而可以得到

∠CFE=∠CBE+∠BCF=∠ACD+∠BCF=∠ACB=60°。

那么就可以得到∠BFC=120°，那么就可以确定点F是在一条圆弧上运动。

以BC为边，在下方构造等边三角形，可以得到四点共圆。

此时，可以发现A′F=BF+CF。而△A′FM中，CN是中位线，所以可以得到CN为1/2A′F，进而就可以得到结论为

2CN=BC+CF。

要证明A′F=BF+CF，还是需要用截长补短等方式进行证明。这个是比较常见的一个模型。

当然，本题的作法比较多样。

如上图，延长CF至S，使得FS=FB，可以得到△BFS为等边三角形（绿色三角形）。

倍长CN至点T，连接TF与TS。那么就可以得到△CNM≌△TNF（SAS）（黄色的两个三角形）。

那么就可以得到TF=CM=AC=BC，SB=SF。

∠SFT=∠SCM=∠ACM+∠ACD=60°+∠ACD

=∠SBF+∠CBE

=∠SBC。

那么就可以得到△SBC≌△SFT（SAS）。

那么就可以得到ST=SC，∠CST=∠CSB=60°，那么就可以得到△CST为等边三角形了。

进而可以得到BF+CF=SC=CT=2CN，结论得证。

（3）题（2）中 的条件没有变化，所以点F的运动轨迹也是不变的。可以先画出草图，然后进行分析。

可以发现，当点P、F、O三点共线时PF最小，此时∠QKP=90°，那么就可以得到△PQK为等腰直角三角形。∠QPK=45°。

设OB=2，可以得到BC=PB=AP=2√3。

∠PBO=∠PBC+∠OBC=150°，那么过点C作PB的垂线，可以得到边长的大小，进而得到∠BPO的正弦与余弦值。

如图，根据勾股定理可以得到PD=2√7。

那么就可以得到sin∠OPB=OR/OP=√7/14。

cos∠OPB=PR/OP=3√21/14。

题目要求的是PQ/BC的值，在△PQA中，∠PQA=90°。

所以可以得到PQ/BC=PQ/AB=cos∠QPA=cos（15°﹣∠OPB）。

那么我们就可以用高中余弦的差角公式得到结论。

，。。

当然，并不是只有这样一种方法。

如上图所示，连接OA，那么依然设BC=AP=2√3，得到OA=4，OP=2√7。

过点H作HM⊥OP，垂足为M。

根据△PHM∽△POA，可以得到

PM=3√7/7，HM=2√21/7。

因为△PKQ为等腰直角三角形，所以可以得到∠PKH=∠QKH=45°，

那么就可以得到△AMK也为等腰直角三角形，

那么就可以得到PK+PM+MK=PM+HM=（3√7+2√21）/7，

进而可以得到PQ=√2PK＝（3√14+2√42）/7，

所以可以得到PQ/BC=PQ/PA=（√42+2√14）/14。

相对于构造复杂的辅助线而言，高中的方法还是更直接一些。

【总结】

本题考查的内容比较多涉及角度的转化，线段数量关系的求解，以及解三角形等。特别是最后一问，求线段的比值，比较难求得所需的线段长。如果借用了高中的数学公式，那么就可以快速求解，也可以说这一问的导向不够好。

下面是三角函数有关的和差角公式：

cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)