2022福建中考数学压轴题分析2：三角形的旋转

本题选自2022年福建省中考数学倒数第2题，属于几何压轴题，难度并不大，但是也是比较综合的题目，适合练练手。

【题目】

已知，，BC" data-formula-type="inline-equation" >．（1）如图1，平分，求证：四边形是菱形；

（2）如图2，将（1）中的绕点逆时针旋转（旋转角小于，，的延长线相交于点，用等式表示与之间的数量关系，并证明；

（3）如图3，将（1）中的绕点顺时针旋转（旋转角小于，若，求的度数．

【分析】

（1）一般第一小题都比较简单。

如图，根据已知条件，把相关的线段与角度的关系标记上去。

由于∠ABC=∠ACB=∠DCB，那么就可以得到AB∥CD。

又因为AB=CD，所以四边形ABDC为平行四边形。

而且AB与AC这个邻边相等，那么就可以得到四边形ABDC为菱形，结论就出来了。

（2）本题的求的结论发生了变化。分别延长BC与DE，使得他们交于点F，要求的是两个角直角的关系，即∠ACE与∠EFC的关系。

如上图所示，一个是钝角，另一个是锐角，可以猜测他们的和为180°，也就是说他们会互补。

那么本题只需要进行适当的转化就可以了，求出他们的和。

因为∠ACB=∠DEC，所以可以得到∠ACF=∠CEF。

那么就可以得到：

∠ACE+∠F=∠ACF+∠ECF+∠F

＝∠CEF+∠ECF+∠F

＝180°。

根据三角形的内角和定理就可以得到结论了。

（3）本题又发生变化了，条件变成∠BAD=∠BCD了，求的是∠ADB的度数。

题目中并没有给出任意的角度，而且△ABC只是普通的等腰三角形，并没有确定的形状。

经过分析，题目中只有大量的边的关系以及角的关系，因此可以适当考虑通过引入未知数进行表示，建立等量关系进行求解。

但是通过转化，似乎看不出什么特别的关系。而且∠BAD=∠BCD的关系也无法直接使用。

在AD上截取AH=BC，根据SAS，可以得到△ABH≌△CDB（SAS），

进而得到∠ABH=∠CDB=y，BH=BD。

那么就可以得到∠BDH=∠BHD=x+y。

此时仍然无法得到一个等量关系，观察图形可以发现AC=CD，那么就可以得到∠CAD=∠CDA，那么就可以进一步得到其它角的关系了。

在△ACD中，根据三角形的内角和定理可以得到：

（x+2y）+（x+2y）+（90°-y+x）=180°，

3x+3y=90°，

x+y=30°，

则∠ADB=x+y＝30°，结论出来了。

【总结】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，以及三角形的内角和等知识。题目比较综合，但是难度比较小，仍然是双减政策下的一道好题。