本文内容选自2021年贵港中考数学压轴题。以二次函数为背景,角度相等和面积倍数关系的问题。属于常规题型。
【中考真题】
(2021贵港)如图,已知抛物线与x轴相交于A(﹣3,0),B两点,与y轴相交于点C(0,2),对称轴是直线x=﹣1,连接AC.(1)求该抛物线的表达式;(2)若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D,当∠ABD=∠BAC时,求直线l的表达式;(3)在(2)的条件下,当点D在x轴下方时,连接AD,此时在y轴左侧的抛物线上存在点P,使.请直接写出所有符合条件的点P的坐标.
【分析】
(1)代入点A、C的坐标,再代入对称轴x=-1,即可得到抛物线的解析式。
(2)由于∠BAC为定角,而AB为定边,所以可以发现有两种情况,分别是点D在AB的上方或者下方。设点D的坐标根据三角函数或相似建立比例关系求解即可。
(3)先由(2)得到点D的坐标,然后设点P的坐标,用割补法表示出△BDP的面积,然后根据条件得到x<0,那么就可以进行排除。难度不大。
【答案】解:(1)∵抛物线的对称轴为x=﹣1,∴,∴b=2a,∵点C的坐标为(0,2),∴c=2,∴抛物线的解析式为,∵点A(﹣3,0)在抛物线上,∴9a﹣6a+2=0,∴a,∴b=2a,∴抛物线的解析式为;
(2)Ⅰ、当点D在x轴上方时,如图1,记BD与AC的交点为点E,∵∠ABD=∠BAC,∴AE=BE,∵直线x=﹣1垂直平分AB,∴点E在直线x=﹣1上,∵点A(﹣3,0),C(0,2),∴直线AC的解析式为yx+2,当x=﹣1时,y,∴点E(﹣1,),∵点A(﹣3,0)点B关于x=﹣1对称,∴B(1,0),∴直线BD的解析式为yx,即直线l的解析式为yx;
Ⅱ、当点D在x轴下方时,如图2,∵∠ABD=∠BAC,∴BD∥AC,由Ⅰ知,直线AC的解析式为yx+2,∴直线BD的解析式为yx,即直线l的解析式为yx;综上,直线l的解析式为yx或yx;
(3)由(2)知,直线BD的解析式为yx①,∵抛物线的解析式为yxx+2②,∴或,∴D(﹣4,),∴,∵,∴,∵点P在y轴左侧的抛物线上,∴设,过P作y轴的平行线交直线BD于F,∴F(m,m),∴,∴,∴m=﹣5或m=2(舍)或m=﹣1或m=﹣2,∴P(﹣5,﹣8)或(﹣1,)或(﹣2,2).
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