中考数学压轴题分析：角度相等与面积倍比问题_中考数学解题方法

本文内容选自2021年贵港中考数学压轴题。以二次函数为背景，角度相等和面积倍数关系的问题。属于常规题型。

【中考真题】

（2021贵港）如图，已知抛物线与x轴相交于A（﹣3，0），B两点，与y轴相交于点C（0，2），对称轴是直线x＝﹣1，连接AC．（1）求该抛物线的表达式；（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式；（3）在（2）的条件下，当点D在x轴下方时，连接AD，此时在y轴左侧的抛物线上存在点P，使．请直接写出所有符合条件的点P的坐标．中考数学压轴题

【分析】

（1）代入点A、C的坐标，再代入对称轴x=-1，即可得到抛物线的解析式。

（2）由于∠BAC为定角，而AB为定边，所以可以发现有两种情况，分别是点D在AB的上方或者下方。设点D的坐标根据三角函数或相似建立比例关系求解即可。

（3）先由（2）得到点D的坐标，然后设点P的坐标，用割补法表示出△BDP的面积，然后根据条件得到x＜0，那么就可以进行排除。难度不大。

【答案】解：（1）∵抛物线的对称轴为x＝﹣1，∴，∴b＝2a，∵点C的坐标为（0，2），∴c＝2，∴抛物线的解析式为，∵点A（﹣3，0）在抛物线上，∴9a﹣6a+2＝0，∴a，∴b＝2a，∴抛物线的解析式为；中考数学压轴题

（2）Ⅰ、当点D在x轴上方时，如图1，记BD与AC的交点为点E，∵∠ABD＝∠BAC，∴AE＝BE，∵直线x＝﹣1垂直平分AB，∴点E在直线x＝﹣1上，∵点A（﹣3，0），C（0，2），∴直线AC的解析式为yx+2，当x＝﹣1时，y，∴点E（﹣1，），∵点A（﹣3，0）点B关于x＝﹣1对称，∴B（1，0），∴直线BD的解析式为yx，即直线l的解析式为yx；中考数学压轴题

Ⅱ、当点D在x轴下方时，如图2，∵∠ABD＝∠BAC，∴BD∥AC，由Ⅰ知，直线AC的解析式为yx+2，∴直线BD的解析式为yx，即直线l的解析式为yx；综上，直线l的解析式为yx或yx；

中考数学压轴题（3）由（2）知，直线BD的解析式为yx①，∵抛物线的解析式为yxx+2②，∴或，∴D（﹣4，），∴，∵，∴，∵点P在y轴左侧的抛物线上，∴设，过P作y轴的平行线交直线BD于F，∴F（m，m），∴，∴，∴m＝﹣5或m＝2（舍）或m＝﹣1或m＝﹣2，∴P（﹣5，﹣8）或（﹣1，）或（﹣2，2）．