本文内容选自2021年玉林中考数学压轴题。以二次函数为背景,考查二次函数的平移问题。难度不大。
【中考真题】
(2021玉林)已知抛物线:(a>0)与x轴交点为A,B(A在B的左侧),顶点为D.(1)求点A,B的坐标及抛物线的对称轴;(2)若直线yx与抛物线交于点M,N,且M,N关于原点对称,求抛物线的解析式;(3)如图,将(2)中的抛物线向上平移,使得新的抛物线的顶点D′在直线l:y上,设直线l与y轴的交点为O′,原抛物线上的点P平移后的对应点为点Q,若O′P=O′Q,求点P,Q的坐标.
【分析】
(1)提取a,令y=0,以及代入对称轴的公式即可。
(2)联立两个解析式,根据对称得到x1+x2=0即可得到a的值。
(3)求出平移的距离,用未知数表示P和Q的坐标,再根据O′P=O′Q建立等量关系即可。
【答案】解:(1)取y=0,则有,即,解得,∴A(﹣1,0),B(4,0),对称轴为直线x,(2)设M的横坐标为,N的横坐标为,根据题意得:,即,,又∵M,N关于原点对称,∴,∴a,∴,(3)∵,由题意得向上平移后的抛物线解析式为,∴抛物线向上平移了四个单位,设P(x,),则Q(x,),由题意得O'(0,),∵O′P=O′Q,∴,解得,,若,则y,∴P(,),Q(,),若,则y,∴P(,),Q(,),综上,P(,),Q(,)或P(,),Q(,).
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