中考数学压轴题分析：二次函数含参问题与定点问题_中考数学解题方法

本文内容选自2021年河池中考数学压轴题。以二次函数为背景，二次函数的性质，综合了一次函数与相似等相关知识。本题是二次函数命题的趋势问题。

【中考真题】

（2021河池）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．（1）求直线CA的解析式；（2）如图，直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，DG⊥CA于点G，若E为GA的中点，求m的值．（3）直线y＝nx+n与抛物线交于两点，其中．若，结合函数图象，探究n的取值范围．

【分析】

（1）分别令x=0和y=0得到点A、B、C的坐标，再用待定系数法进行求解。

（2）用m分别表示出D、E、F的坐标，并表示出EA的长，再用相似可以得到GE的长，建立等量关系即可。或者也可以再适当构造辅助线，如果点G作DF的垂线等方式。

（3）发现y=nx+n的k与b是相等的，只含有一个参数，可以得到该直线过定点，也就是当x=-1时，y=0，那么经过定点B，此时另一个交点的位置就可以分为两种情况，即点B的左侧或右侧。联立二次函数与一次函数，可以得到交点的坐标。根据题目条件x1，x2与y1，y2之间的关系，可以得到n的取值范围。

【答案】解：（1）在中，令x＝0得y＝3，令y＝0得x＝﹣1或3，∴A（3，0），B（﹣1，0），C（0，3），设直线CA的解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线CA的解析式为y＝﹣x+3；（2）∵直线x＝m与抛物线在第一象限交于点D，交CA于点E，交x轴于点F，∴，且0＜m＜3，E（m，﹣m+3），F（m，0），∴AF＝3﹣m，，∵A（3，0），C（0，3），∴∠EAF＝45°，△EAF是等腰直角三角形，∴AEAF＝3m，∠DEG＝∠AEF＝45°，∴△DEG是等腰直角三角形，∴DEGE，∵E为GA的中点，∴，∴，解得m＝2或m＝3，∵m＝3时，D与A重合，舍去，∴m＝2；（3）由得或，①若3﹣n＞﹣1，即n＜4，如图：

中考数学压轴题 ∵，∴，且，解得0＜n＜1；②若3﹣n＜﹣1，即n＞4，同理可得：﹣1﹣（3﹣n）＞3且，解得n＞7，综上所述，n的取值范围是0＜n＜1或n＞7．