中考数学压轴题分析：二次函数与点的距离问题

本文内容选自2021年桂林中考数学压轴题。以二次函数为背景，考查线段比值的问题，以及点到直线距离相等的问题。题目问法比较新颖，值得探究。

【中考真题】

（2021桂林）如图，已知抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5）和点B（﹣5，m），与x轴的正半轴交于点C．（1）求a，m的值和点C的坐标；（2）若点P是x轴上的点，连接PB，PA，当时，求点P的坐标；（3）在抛物线上是否存在点M，使A，B两点到直线MC的距离相等？若存在，求出满足条件的点M的横坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）先把点的坐标代入，然后再求点B的坐标与点C的坐标即可。

（2）直接设点P的坐标，然后表示出PA与PB，建立等量关系解方程即可。

（3）本题有两种情况，一种是与AB平行时，根据两平行线间的距离处处相等得到结论，以及另一种为过AB的中点时，可以根据全等得到结论。

【答案】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）（x+6）过点A（﹣1，5），∴5＝﹣20a，∴a，∴抛物线的解析式为y（x﹣3）（x+6），令y＝0，则（x﹣3）（x+6）＝0，解得x＝3或﹣6，∴C（3，0），当x＝﹣5时，y（﹣8）×1＝2，∴B（﹣5，2），∴m＝2．（2）设P（t，0），则有，整理得，，解得t或，经检验t或是方程的解，∴满足条件的点P坐标为（，0）或（，0）．

（3）存在．连接AB，设AB的中点为T．①当直线CM经过AB的中点T时，满足条件．∵A（﹣1，5），B（﹣5，2），TA＝TB，∴T（﹣3，），∵C（3，0），∴直线CT的解析式为yx，由，解得（即点C）或，∴M（，），②CM′∥AB时，满足条件，∵直线AB的解析式为yx，∴直线CM′的解析式为yx，由，解得（即点C）或，∴M′（﹣9，﹣9），综上所述，满足条件的点M的横坐标为或﹣9．

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