中考数学压轴题分析：矩形的存在性问题与几何最值问题

本文内容选自2021年广西北部湾中考数学压轴题。以三角形为背景，考查代几综合问题。题目涉及面积的最值问题，本题有一定难度，特别是最后一问中求面积的最小值。

【中考真题】

（2021广西）如图①，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BC＝14，AD＝8，BD＝6，点E是AD上一动点（不与点A，D重合），在△ADC内作矩形EFGH，点F在DC上，点G，H在AC上，设DE＝x，连接BE．（1）当矩形EFGH是正方形时，直接写出EF的长；（2）设△ABE的面积为，令y，求y关于x的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（3）如图②，点P（a，b）是（2）中得到的函数图象上的任意一点，过点P的直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于M，N两点，求△OMN面积的最小值，并说明理由．

【分析】

（1）设DE=x，进而表示出AE，EF和EH等的长度，根据正方形的性质列方程求解即可。

（2）用x表示出面积，再代入求解即可。由于DE的长度范围是确定的，可以得到x的取值范围（本题不要求）。

（3）根据（2）的结论，可以得到点P运动的轨迹。先设直线l的解析式，得到点M与N的坐标，进而表示出△OMN的面积，代入点P的坐标，用a表示面积。然后再配方，根据二次函数的性质可以得到最值。

【答案】解：（1）设EF＝m．∵BC＝14，BD＝6，∴CD＝BC﹣BD＝14﹣6＝8，∵AD＝8，∴AD＝DC＝8，∵AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴ACAD＝8，∵四边形EFGH是正方形，∴EH＝FG＝GH＝EF＝m，∠EHG＝∠FGH＝90°，∴∠AHE＝∠FGC＝90°，∵∠DAC＝∠C＝45°，∴∠AEH＝∠EAH＝45°，∠GFC＝∠C＝45°，∴AH＝EH＝x，CG＝FG＝x，∴3m＝8，∴m，∴EF．

（2）∵DE＝DF＝x，DA＝DC＝8，∴AE＝CF＝8﹣x，∴EHAE（8﹣x），EFDEx，∴y，∴y（0＜x＜8）．（3）如图③中，由（2）可知点P在y上，

当OP最小时，点P在第一象限的角平分线时，此时P（，），当直线MN⊥OP时，△OMN的面积最小，此时OM＝ON＝2，∴△MON的面积的最小值226．

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