中考数学压轴题分析：图形的翻折与面积问题

本文内容选自2021年百色中考数学压轴题。考查轴对称图形的性质，待定系数法求二次函数的解析式，以及面积问题。题目常规，难度不大。

【中考真题】

（2021百色）已知O为坐标原点，直线l：与x轴、y轴分别交于A、C两点，点B（4，2）关于直线l的对称点是点E，连接EC交x轴于点D．（1）求证：AD＝CD；（2）求经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式；（3）当x＞0时，抛物线上是否存在点P，使？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．

【分析】

（1）根据对称与平行，可以得到∠ACD=∠CAD，进而得到AD=CD。

（2）根据AD=CD，设未知数用勾股定理求出点D的坐标，根据三点的坐标代入二次函数的解析式即可。

（3）由于∠AEC=90度，因此考虑构造三垂直模型，得到点E的坐标，进而得到△OAE的面积，根据面积关系得出点P到BC的距离，进而确定点P的纵坐标，分为在BC的上方或下方两种情况讨论即可。【答案】（1）证明：∵与x轴、y轴分别交于A、C两点，∴A（4，0），C（0，2），由对称得∠ACD＝∠ACB，∵B（4，2），∴四边形OABC是矩形，∴OA∥BC，∴∠BCA＝∠OAC，∴∠ACD＝∠OAC，∴AD＝CD；（2）解：设OD＝m，由对称可得CE＝BC＝4，AE＝AB＝OC＝2，∠AED＝∠B＝90°，∴CD＝AD＝4﹣m，在中，，∴，∴，∴，设经过B、C、D三点的抛物线的函数表达式为：，把B（4，2），C（0，2），D（，0）代入得：，解得：

．∴经过B，C，D三点的抛物线的函数表达式为：；（3）解：存在，过点E作EM⊥x轴于M，

∵ED＝EC﹣CD＝EC﹣AD＝OD，∴AEDEADEM，∴2（4）EM，∴EM，设△PBC中BC边上的高为h，∵，∴，∴44h，∴h＝2，∵C（0，2），B（4，2），∴点P的纵坐标为0或4，①y＝0时，x2x+2＝0，解得：，；②y＝4时，，解得：，（舍去），∴存在，点P的坐标为（，0）或（，0）或（，4）．

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