中考数学压轴题分析：二次函数含参与平行四边形的存在性问题

本文内容选自2021年广东中考数学压轴题。考查二次函数的性质，以及平行四边形的存在性问题。题目设计巧妙，值得学习。

【中考真题】

（2021广东）已知二次函数的图象过点（﹣1，0），且对任意实数x，都有．（1）求该二次函数的解析式；（2）若（1）中二次函数图象与x轴的正半轴交点为A，与y轴交点为C；点M是（1）中二次函数图象上的动点．问在x轴上是否存在点N，使得以A、C、M、N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】

（1）本题的难点就是这一问，如何确定函数的解析式很重要。观察题目给的条件，可以分别令三个式子作为三个函数的解析式。然后联立y=4x-12与y=2x-8x+6，发现他们刚好只有一个交点，也就是相切。那么可以得到原目标函数也经过该定点，然后可以代入得到只含有一个参数的解析式。再根据它与直线y=4x-12也是相切的，得到最后一个参数的值即可。

（2）有了函数的解析式，然后就可以得到点A与C的坐标。然后就是两定两动型的平行四边形存在性问题。分类讨论即可，难度不大。可以用平移的方法，或者中点坐标公式等等。都是可以很快解决的。

【答案】解：（1）不妨令，解得：，当x＝3时，．∴必过（3，0），又∵过（﹣1，0），∴，解得：，∴，又∵，∴，整理得：，∴a＞0且△≤0，∴，∴，∴．∴该二次函数解析式为．（2）令中，得，则A点坐标为（3，0）；令x＝0，得y＝﹣3，则点C坐标为（0，﹣3）．设点M坐标为，N（n，0），根据平行四边对角线性质以及中点坐标公式可得：①当AC为对角线时，，即，解得：（舍去），，∴n＝1，即．②当AM为对角线时，，即，解得：，∴n＝5，即．③当AN为对角线时，，即，解得：m1＝1，m2＝1，∴n或﹣2，∴，．综上所述，N点坐标为（1，0）或（5，0）或或．

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