高考 | 数学解题技巧与解题思路

一

三角函数题

1.注意归一公式、诱导公式的正确性【转化成同名同角三角函数时，套用归一公式、诱导公式（奇变、偶不变；符号看象限）时，很容易因为粗心，导致错误！一着不慎，满盘皆输！】。

2.根据函数解析式研究函数图像和性质，解决此类题型的关键在于三角函数的化简与求最值。

3.观察角、函数运算间的差异，即进行所谓的“差异分析”；运用相关公式，找出差异之间的内在联系；选择恰当的公式，促使差异的转化。

二

数列题

1.证明一个数列是等差（等比）数列时，最后下结论时要写上以谁为首项，谁为公差（公比）的等差（等比）数列。

2.最后一问证明不等式成立时，如果一端是常数，另一端是含有n的式子时，一般考虑用放缩法。

如果两端都是含n的式子，一般考虑数学归纳法（用数学归纳法时，当n=k+1时，一定利用上n=k时的假设，否则不正确）。

利用上假设后，如何把当前的式子转化到目标式子，一般进行适当的放缩，这一点是有难度的。

简洁的方法是，用当前的式子减去目标式子，看符号，得到目标式子，下结论时一定写上综上：由①②得证。

3.证明不等式时，有时构造函数，利用函数单调性很简单（所以要有构造函数的意识）。

三

立体几何题

1.证明线面位置关系，一般不需要去建系，更简单。

2.求异面直线所成的角、线面角、二面角、存在性问题、几何体的高、表面积、体积等问题时，最好要建系。

3.注意向量所成的角的余弦值（范围）与所求角的余弦值（范围）的关系（符号问题、钝角、锐角问题）。

4.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素之间的关系，列方程(组)求解。

5.三视图中“长对正，高平齐，宽相等”，即“正俯一样长，正侧一样高，俯侧一样宽”，因此可以根据三视图的形状及相关数据确定原几何体的各个度量。

四

概率问题

1.搞清随机试验包含的所有基本事件和所求事件包含的基本事件的个数。

2.搞清是什么概率模型，套用哪个公式。

3.记准均值、方差、标准差公式。

4.求概率时，正难则反（根据p1+p2+...+pn=1)。

5.注意计数时利用列举、树图等基本方法。

6.注意放回抽样，不放回抽样。

7.注意“零散的”的知识点（茎叶图，频率分布直方图、分层抽样等）在大题中的渗透。

8.注意条件概率公式。

9.注意平均分组、不完全平均分组问题。

五

圆锥曲线问题

1.注意求轨迹方程时，从三种曲线（椭圆、双曲线、抛物线）着想，椭圆考得最多，方法上有直接法、定义法、交轨法、参数法、待定系数法。

2.注意直线的设法（法1分有斜率，没斜率；法2设x＝my+b（斜率不为零时），知道弦中点时，往往用点差法）。

注意判别式；注意韦达定理；注意弦长公式；注意自变量的取值范围等等。

3.战术上整体思路要保7分，争9分，想12分。

六

导数/极值/最值/不等式

恒成立题

1.先求函数的定义域，正确求出导数，特别是复合函数的导数，单调区间一般不能并，用“和”或“，”隔开（知函数求单调区间，不带等号；知单调性，求参数范围，带等号）。

2.注意最后一问有应用前面结论的意识。

3.注意分论讨论的思想。

4.不等式问题有构造函数的意识。

5.恒成立问题（分离常数法、利用函数图像与根的分布法、求函数最值法）。

6.整体思路上保6分，争10分，想14分。

一

函数与方程思想

函数思想是指运用运动变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，通过建立函数关系运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题和解决问题。

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题转化为方程或不等式模型去解决问题。

同学们在解题时可利用转化思想进行函数与方程间的相互转化。

二

数形结合思想

中学数学研究的对象可分为两大部分，一部分是数，一部分是形，但数与形是有联系的，这个联系称之为数形结合或形数结合。

同学们在解答数学题时，能画图的尽量画出图形，以利于正确地理解题意、快速地解决问题。

三

特殊与一般的思想

这种思想解选择题有时特别有效，这是因为一个命题在普遍意义上成立时，在其特殊情况下也必然成立，根据这一点，同学们可以直接确定选择题中的正确选项。

不仅如此，用这种思想方法去探求主观题的求解策略，也同样有用。

四

极限思想解题步骤

极限思想解决问题的一般步骤为：

一、对于所求的未知量，先设法构思一个与它有关的变量。

二、确认这变量通过无限过程的结果就是所求的未知量。

三、构造函数(数列)并利用极限计算法则得出结果或利用图形的极限位置直接计算结果。

五

分类讨论思想

同学们在解题时常常会遇到这样一种情况，解到某一步之后，不能再以统一的方法、统一的式子继续进行下去，这是因为被研究的对象包含了多种情况，这就需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合归纳得解，这就是分类讨论。

引起分类讨论的原因很多，数学概念本身具有多种情形，数学运算法则、某些定理、公式的限制，图形位置的不确定性，变化等均可能引起分类讨论。建议同学们在分类讨论解题时，要做到标准统一，不重不漏。

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