一.方程的思想
例1.已知sinθ+cosθ=
，θ
（0，π），则cotθ=________。
解析：由sinθ+cosθ=平方得
sinθcosθ=
。
又θ（0，π），
所以sinθ＞0，cosθ＜0，
且sinθ＞
，
将sinθ，cosθ看作是方程
的两根。
所以sinθ=
，cosθ=
。
从而cotθ=
，应填。
二.函数的思想
例2.已知x，y∈[
]，且x3+sinx-2a=0①，4y3+sinycosy+a=0②，求cos(x+2y)的值。
解析：设f(u)=u3+sinu。
由①式得f(x)=2a，由②式得
f(2y)=－2a。
因为f（u）在区间[
]上是单调奇函数，
所以f(x)=-f(2y)=f(-2y)。
又所因x,-2y∈[]，
所以x=-2y，即x+2y=0。
所以cos(x+2y)=1。
三.数形结合的思想
例3.函数f(x)=sinx+2
，x∈[0，2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是______。
解析：f(x)=
函数f(x)=sinx+2，x∈[0，2π]的图象（如图1）与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则1＜k＜3。
四.化归的思想
例4.设α为第四象限的角，若
，则tan2α=_________。
解析：因为
=
=
=
，
所以，tan2
=
。
又因为为第四象限的角，
所以tan=
，
从而求得tan2=。
五.分类讨论的思想
例5.若△ABC的三内角满足sinA=
①，问此三角形是否可能为直角三角形？
解析：假设△ABC可以为直角三角形。
（1）若B=90°，则A=90°-C，代入①中，得
sin(90°-C)=
，
所以cos2C=1+sinC，1-sin2C=1+sinC，
所以sinC=1，即C=90°。这是不可能的，所以B≠90°。
（2）同理，C≠90°。
（3）若A=90°。
①式右边=
①式左边=sinA=sin90°=1。
所以此三角形可为直角三角形，此时A=90°。
六.换元的方法
例6. 已知sin3θ+cos3θ=1，求sinθ+cosθ的值。
解析：因为sin3θ+cos3θ
=(sinθ+cosθ)(sin2θ+cos2θ-sinθcosθ)
=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)
所以(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=1。
设sinθ+cosθ=x(
)，
则sinθcosθ=
。
所以x
，
即x3-3x+2=0，(x-1)2(x+2)=0。
因为
，
所以x-1=0，得x=1。
所以sinθ+cosθ=1。
七.整体的方法
例7.证明cos
。
证明：设
，
b=
，
则ab=
=
=
。
因为b≠0，
所以a=
。即原式得证。
八.类比联想的方法
例8.已知λ为非零常数，x∈R，且f(x+λ)=
。问f(x)是否是周期函数？若是，求出它的一个周期；若不是，请说明理由。
分析：由于探索的是周期函数的问题，容易联想到三角函数。又f(x+λ)=的结构的形式极易与tan(x+
)=
进行类比，故可把tanx看成是f(x)的一个原型实例，且题中的λ相当于实例中的。由于周期函数tanx的周期T=4·，故可猜想f(x)也为周期函数，且周期为4λ。
解：f(x+2λ)=f[(x+λ)+λ]
=
，
则f(x+4
)=f[(x+2)+2]
=
。
所以f(x)是周期函数，且4是它的一个周期。
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