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干货丨求递推数列通项公式的方法

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递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法,它们是公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1已知数列满足,求数列的通项公式。

解:两边除以,得,则

故数列是以为首,以为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得,所以数列的通项公式为

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,说明数列是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出,进而求出数列的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2已知数列满足,求数列的通项公式。

解:由

所以数列的通项公式为

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列的通项公式。

例3已知数列满足,求数列的通项公式。

解:由

所以

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出

,即得数列的通项公式。

例4已知数列满足,求数列的通项公式。

解:两边除以,得

因此

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,进而求出

+…+,即得数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5已知数列满足,求数列的通项公式。

解:因为,所以,则

所以数列的通项公式为

评注:本题解题的关键是把递推关系转化为,进而求出,即得数列的通项公式。

例6已知数列满足

,则的通项

解:因为

所以

所以②式-①式得

所以

,取n=2得,则,又知,则,代入③得

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为(n≥2),进而求出,从而可得当n≥2时的表达式,最后再求出数列的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7已知数列满足,求数列的通项公式。

解:设

代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得,则x=-1,代入④式,

≠0及⑤式,得,则,则数列是以为首项,以2为公比的等比数列,则,故

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

例8已知数列满足,求数列的通项公式。

解:设

代入⑥式,得

整理得

,则,代入⑥式,得

及⑦式,

,则

故数列是以为首项,以3为公比的等比数列,因此,则

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求数列的通项公式。

例9已知数列满足,求数列的通项公式。

解:设

代入⑧式,得

,则

等式两边消去,得

则得方程组,则,代入⑧式,得

及⑨式,得

,故数列为以为首项,以2为公比的等比数列,因此,则

评注:本题解题的关键是把递推关系式转化为,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10已知数列满足,求数列的通项公式。

解:因为,所以。在式两边取常用对数得

①①

将⑩式代入11式,得

,两边消去并整理,得,则

,故

代入11式,得

①②

及12式,

所以数列是以为首项,以5为公比的等比数列,则

,因此

,则

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为

,从而可知数列是等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

例11已知数列满足,求数列的通项公式。

解:因为,所以

,所以数列的通项公式为

评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式两边取常用对数得

,即,再由累乘法可推知,从而

七、利用数学归纳法求通项公式

例12已知数列满足,求数列的通项公式。

解:由,得

由此可猜测,往下用数学归纳法证明这个结论。

(1)当n=1时,,所以等式成立。

(2)假设当n=k时等式成立,即,则当时,

由此可知,当n=k+1时等式也成立。

根据(1)(2)可知,等式对任何

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式

例13已知数列满足,求数列的通项公式。

解:令,则

,代入

因为,故

,即

可化为

所以是以为首项,以为公比的等比数列,因此,则+3,即,得

评注:本题解题的关键是通过将的换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列的通项公式,最后再求出数列的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式

例14已知数列满足,求数列的通项公式。

解:令,得,则是函数的两个不动点。因为

,所以数列是以为首项,以为公比的等比数列,故,则

评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的两个根,进而可推出,从而可知数列为等比数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。

例15已知数列满足,求数列的通项公式。

解:令,得,则x=1是函数的不动点。

因为,所以

,所以数列是以为首项,以为公差的等差数列,则,故

评注:本题解题的关键是先求出函数的不动点,即方程的根,进而可推出,从而可知数列为等差数列,再求出数列的通项公式,最后求出数列的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式

例16已知数列满足,求数列的通项公式。

解:的相应特征方程为,解之求特征根是,所以

由初始值,得方程组

求得

从而

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出,从而可得数列的通项公式。

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