干货丨求递推数列通项公式的方法

优胜教育商丘分校,艺考

优胜教育商丘分校

2020-11-13 01:23:39 文/王伟 图/陈军

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优胜教育商丘分校

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容。笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法,它们是公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法。仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键。

一、利用公式法求通项公式

例1已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:优胜教育商丘分校两边除以优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

故数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首,以优胜教育商丘分校为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得优胜教育商丘分校,所以数列优胜教育商丘分校的通项公式为优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,说明数列优胜教育商丘分校是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出优胜教育商丘分校,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

二、利用累加法求通项公式

例2已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:由优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

所以数列优胜教育商丘分校的通项公式为优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,进而求出优胜教育商丘分校,即得数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例3已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:由优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

所以优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,进而求出

优胜教育商丘分校,即得数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例4已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:优胜教育商丘分校两边除以优胜教育商丘分校,得

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

因此优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,进而求出

优胜教育商丘分校+…+优胜教育商丘分校,即得数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

三、利用累乘法求通项公式

例5已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:因为优胜教育商丘分校,所以优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

所以数列优胜教育商丘分校的通项公式为

优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,进而求出优胜教育商丘分校,即得数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例6已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校的通项优胜教育商丘分校

解:因为优胜教育商丘分校

所以优胜教育商丘分校

所以②式-①式得优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

所以优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,取n=2得优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校,又知优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校,代入③得

优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校(n≥2),进而求出优胜教育商丘分校,从而可得当n≥2时优胜教育商丘分校的表达式,最后再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

四、利用待定系数法求通项公式

例7已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:设优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校代入④式,得优胜教育商丘分校,等式两边消去优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校,两边除以优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校,则x=-1,代入④式,

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校≠0及⑤式,得优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校,则数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以2为公比的等比数列,则优胜教育商丘分校,故优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校是等比数列,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例8已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:设优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校代入⑥式,得

优胜教育商丘分校

整理得优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校,代入⑥式,得

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校及⑦式,

优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

故数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以3为公比的等比数列,因此优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校是等比数列,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例9已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:设优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校代入⑧式,得

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,则

优胜教育商丘分校

等式两边消去优胜教育商丘分校,得

优胜教育商丘分校

则得方程组优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校,代入⑧式,得

优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校及⑨式,得

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,故数列优胜教育商丘分校为以优胜教育商丘分校为首项,以2为公比的等比数列,因此优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是把递推关系式优胜教育商丘分校转化为优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校是等比数列,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

五、利用对数变换法求通项公式

例10已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:因为优胜教育商丘分校,所以优胜教育商丘分校。在优胜教育商丘分校式两边取常用对数得优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校①①

将⑩式代入11式,得

优胜教育商丘分校,两边消去优胜教育商丘分校并整理,得优胜教育商丘分校,则

优胜教育商丘分校,故优胜教育商丘分校

代入11式,得优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校 ①②

优胜教育商丘分校及12式,

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

所以数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以5为公比的等比数列,则

优胜教育商丘分校,因此

优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式优胜教育商丘分校转化为

优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校是等比数列,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

六、利用迭代法求通项公式

例11已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:因为优胜教育商丘分校,所以

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,所以数列优胜教育商丘分校的通项公式为优胜教育商丘分校

评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式,即先将等式优胜教育商丘分校两边取常用对数得

优胜教育商丘分校,即优胜教育商丘分校,再由累乘法可推知优胜教育商丘分校,从而优胜教育商丘分校

七、利用数学归纳法求通项公式

例12已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:由优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,得

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

由此可猜测优胜教育商丘分校,往下用数学归纳法证明这个结论。

(1)当n=1时,优胜教育商丘分校,所以等式成立。

(2)假设当n=k时等式成立,即优胜教育商丘分校,则当优胜教育商丘分校时,

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

由此可知,当n=k+1时等式也成立。

根据(1)(2)可知,等式对任何优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。

八、利用换元法求通项公式

例13已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:令优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,代入优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校

因为优胜教育商丘分校,故优胜教育商丘分校

优胜教育商丘分校,即优胜教育商丘分校

可化为优胜教育商丘分校

所以优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以优胜教育商丘分校为公比的等比数列,因此优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校+3,即优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是通过将优胜教育商丘分校的换元为优胜教育商丘分校,使得所给递推关系式转化优胜教育商丘分校形式,从而可知数列优胜教育商丘分校为等比数列,进而求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

九、利用不动点法求通项公式

例14已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:令优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校是函数优胜教育商丘分校的两个不动点。因为

优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,所以数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以优胜教育商丘分校为公比的等比数列,故优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,则优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是先求出函数优胜教育商丘分校的不动点,即方程优胜教育商丘分校的两个根优胜教育商丘分校,进而可推出优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校为等比数列,再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

例15已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:令优胜教育商丘分校,得优胜教育商丘分校,则x=1是函数优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校的不动点。

因为优胜教育商丘分校,所以

优胜教育商丘分校优胜教育商丘分校,所以数列优胜教育商丘分校是以优胜教育商丘分校为首项,以优胜教育商丘分校为公差的等差数列,则优胜教育商丘分校,故优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是先求出函数优胜教育商丘分校的不动点,即方程优胜教育商丘分校的根优胜教育商丘分校,进而可推出优胜教育商丘分校,从而可知数列优胜教育商丘分校为等差数列,再求出数列优胜教育商丘分校的通项公式,最后求出数列优胜教育商丘分校的通项公式。

十、利用特征根法求通项公式

例16已知数列优胜教育商丘分校满足优胜教育商丘分校,求数列优胜教育商丘分校的通项公式。

解:优胜教育商丘分校的相应特征方程为优胜教育商丘分校,解之求特征根是优胜教育商丘分校,所以

优胜教育商丘分校

由初始值优胜教育商丘分校,得方程组

优胜教育商丘分校

求得优胜教育商丘分校

从而优胜教育商丘分校

评注:本题解题的关键是先求出特征方程的根。再由初始值确定出优胜教育商丘分校,从而可得数列优胜教育商丘分校的通项公式。

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