必修

高中数学易错题

数学概念的理解不透

必修一（1）若不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（）

A.a≤-或a≥B.a＜C.-≤a≤D.a≥

【错解】选A.由题意，方程ax+x+a=0的根的判别式a≤-或a≥，所以选A.

【正确解析】D .不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已知条件，则a；要不等式ax+x+a＜0的解集为 Φ，则需二次函数y=ax+x+a的开口向上且与x轴无交点，所以a>0且.

必修一（2）判断函数f(x)=(x－1)的奇偶性为____________________

【错解】偶函数.f(x)=，所以，所以f（x）为偶函数.

【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：，定义域不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.

必修二（4），，是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）

(A)，（B），

(C)，，共面 （D），，共点，，共面

【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A正确；

错解二：选C.平行就共面；

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【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C中这三条直线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D中的三条线可以构成三个两两相交的平面，所以它们不一定共面.

必修五（5）x=是a、x、b成等比数列的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件

【错解】C.当.x=时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b成等比数列时，x=成立.

【正确解析】选D.若x=a=0，x=成立，但a、x、b不成等比数列，所以充分性不成立；反之，若a、x、b成等比数列，则，所以x=不一定成立，必要性不成立.所以选D.

排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.

分析:

（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一种结果，故所求概率P=

【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是一种结果，而是有三种结果：正、正、反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率上述错解在于对于等可能性事件的概念理解不清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就不是等可能性事件了，应用求概率的基本公式自然就是错误的.

公式理解与记忆不准

（7）若，则的最小值为___________.

【错解】，错解原因是忽略等号成立条件.

【正解】=

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（8）函数y=sin⁴x+cos⁴x－的相位____________，初相为__________ .周期为_________，单调递增区间为____________.

【错解】化简y=sin⁴x+cos⁴x－=，所以相位为4x，初相为0，周期为，增区间为….

【正确解析】y=sin⁴x+cos⁴x－=.相位为，初相为，周期为，单调递增区间为.

审题不严

（1）读题不清

必修五（9）已知是R上的奇函数，且当时，，则的反函数的图像大致是

【错解】选B.因为在内递减，且过点（0，2），所以选B.

【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数的值域、定义域相同.当，所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其反函数过点（2，0），排除B、C；又根据原函数在时递减，所以选A.

排列组合

（10）一箱磁带最多有一盒次品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率是.

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【错解】一箱磁带有一盒次品的概率，一箱磁带中无次品的概率，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是+.

【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率，一箱磁带中无次品的概率，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是+.

（2）忽视隐含条件

必修一（11）设是方程的两个实根，则的最小值是（）

【错解】利用一元二次方程根与系数的关系易得：

选A.

【正确解析】利用一元二次方程根与系数的关系易得：

原方程有两个实根，∴

当时，的最小值是8；

当时，的最小值是18.选B.

必修一(12)已知(x+2)²+=1,求x²+y²的取值范围.

【错解】由已知得y²=－4x²－16x－12，因此x²+y²=－3x²－16x－12=－3(x+)²+，

∴当x=－时，x²+y²有最大值，即x²+y²的取值范围是(－∞,].

【正确解析】由已知得y²=－4x²－16x－12，因此x²+y²=－3x²－16x－12=－3(x+)²+

由于(x+2)²+=1(x+2)²=1－≤1－3≤x≤－1，

从而当x=－1时x²+y²有最小值1.∴x²+y²的取值范围是[1,].（此题也可以利用三角函数和的平方等于一进行求解）

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必修一13方程的解集为___________________-

【错解】

或所以x=1或x=2.所以解集为{1，2}.

【正解】

所以解集为{2}.

字母意义含混不清

（14）若双曲线的离心率为，则两条渐近线的方程为（）

A.B.C.D.

【错解】选D.

，选D.

【正确解析】，与标准方程中字母a,b互换了.选C.

4.运算错误

（1）数字与代数式运算出错

若，且（），则实数的值为____________.

【错解】，则（）.

【正确解析】，（）

必修二18.已知直线与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线：3x－y－1=0和

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：x+y－3=0的交点，则直线的方程为_______________________

【错解】先联立两直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到它的距离相等建立方程得，所以所求直线为x+2y-5=0.

【正确解析】x-6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线：3x－y－1=0和：x+y－3=0的方程得它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线的斜率必然存在），由点到直线的距离公式得：，所以直线的方程为:x-6y+11=0或x+2y-5=0.

（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得解而出错

必修二19.已知圆(x－3)²+y²=4和直线y=mx的交点分别为P，Q两点，O为坐标原点，则的值为.

【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)²+y²=4消y，得关于x的方程，令，则，则，由于向量与向量共线且方向相同，即它们的夹角为0，所以.

【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定理，则.

（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错

曲线x²－的右焦点作直线交双曲线于A、B两点，且，则这样的直线有___________条.

【错解】4条.过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各

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一条（关于x轴对称），所以共4条.

【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB（即通径）为，所以过右焦点的直线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别两交于A、B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共3条.

5.数学思维不严谨

（1）数学公式或结论的条件不充分

24.已知两正数x,y满足x+y=1,则z=的最小值为.

【错解一】因为对a>0,恒有,从而z=4,所以z的最小值是4.

【错解二】，所以z的最小值是.

【正解】z===，令t=xy,则，由在上单调递减,故当t=时有最小值,所以当时z有最小值.

（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况

必修一(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________

解析：（1）【错解】.因为|x+1|0恒成立，所以原不等式转化为2x-10，所以

【正确解析】.原不等式等价于|x+1|=0或2x-10，所以解集为.

必修一(2)函数的定义域为.

(2)【错解】或.

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【正解】

（3）解题时忽视等价性变形导致出错

27.已知数列的前项和，求

【错解】

【正确解析】当时，，n时，

.所以.

选修实数为何值时，圆与抛物线有两个公共点.

【错解】 将圆与抛物线联立，消去，

得①

因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得， 解之得

【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得解之，得

因此，当或时，圆与抛物线有两个公共点.

(1)设等比数列的全项和为.若，求数列的公比.

【错解】，

.

【正确解析】若，则有但，即得与题设矛盾，

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故.

又依题意,即因为，所以所以解得

空间识图不准

必修二直二面角α－－β的棱上有一点A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与成45⁰，AB，则∠BAC=.

【错解】如右图.由最小角定理，.

【正确解析】或.如下图.当时，由最小角定理，；当AC在另一边DA位置时，.