2015合肥三模数学理科答案及评分标准

高三数学(理)试题答案 第1页(共6页)
合肥市2015年高三第三次教学质量检测数学试题(理)参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共10小题.每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合
题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B D A A C D A B C A
二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.
11.48 12. 13. 14.(2,2) 15.①②⑤
三、解答题:本大题共六个小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.
16.解:(Ⅰ) =
=
= =
函数 的最小正周期 ,且 >0 ………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 = ,
则当 时, ,
时, .
………12分高三数学(理)试题答案 第2页(共6页)
17.解:(Ⅰ)由题意 得 ,两式相减得
,
∴n≥2时,(n-2)an=(n-1)an-1,
相减得(n-1)an+1+(n-1)an-1=2(n-1)an,
即n≥2时,an+1+an-1=2an
∴{an}为等差数列.
由 可得 ,又 , . ………6分
(Ⅱ)由条件 知当 取奇数时, ,
当 取偶数时,
………12分
18.解:(Ⅰ)对 ,令 ,解得 ,即
则 ,即 ,可得 ,即 ,解得
………5分
(Ⅱ)由 条 件,直 线 AP、AQ 斜 率 必 存 在,设 过 点 A 且 与 圆 相 切 的 直 线 为
,高三数学(理)试题答案 第3页(共6页)
则 =2, ,(b>2).
即切线AP、AQ 关于 轴对称,则直线PQ 平行于 轴.
,由P、Q 在 上,不妨设点Q 在 轴侧,可得
则 ,解得 ,而 ,解得 ,则 .
椭圆方程为 ………12分
19.解:(Ⅰ)连BD, ∥BF 四点共面
F
G
E
C
A D
B
由四边形ABCD 是正方形知BD AC.
又 BF 面ABCD
BF AC
且 平面BDEF, 平面BDEF,
平面BDEF
………6分
(Ⅱ)以点B 为坐标原点,直线BA、BC、BF 分别为 轴、 轴、 轴建立直角坐标系
则A(1,0,0)、C(0,1,0)、E(1,1,1)
设平面ACE 的法向量为 ,则 ,即 ,令 ,
可得 .高三数学(理)试题答案 第4页(共6页)
在EF 上,则存在 ,使得 ,由F(0,0,2)、E(1,1,1)可得G
BG∥面ACE, ,即 ,
解得 ,则G ,
直线AG 与面ACE 所成角的正弦值 =
………13分
20.解:(Ⅰ) P(B|A) ………5分
(Ⅱ)在事件A 发生的前提下,知已有2人参观过甲展厅,则 的所有可能取值为0,1,2,3,4
P(参观的第二小时时间内该小组在甲展厅有4人)=
P(参观的第二小时时间内该小组在甲展厅有3人)=
P(参观的第二小时时间内该小组在甲展厅有2人)=
P(参观的第二小时时间内该小组在甲展厅有1人)=
P(参观的第二小时时间内该小组在甲展厅有0人)=
………13分高三数学(理)试题答案 第5页(共6页)
21.解:(Ⅰ)∵ ,∴ >0,且
由 可得 ,
当 时, >0, 单调递增,当 时, <0, 单调递减
的单调递增区间为 ,单调递减区间为 。
………4分
(Ⅱ)解法1:由 > 对 >0恒成立知 > 对 >0恒成立
即 > 对 >0恒成立
令 ,则
由(1)知 在 上单增,在 上单减
且 <0, >0, >0, <0
则 存在两解 且 , ,
当 时 <0, 时 >0, 时 <0,
即 时 单减, 时 单增, 时 单减,
当 时, <0,
考虑到 ,而 ,知高三数学(理)试题答案 第6页(共6页)
则 > ,则得 > ,考虑到 为整数, ………13分
解法2:由 > 对 >0恒成立,知 > 对 >0恒成立
即 < 对 >0恒成立
令 ,则 ,
由 可得 ,且 时 单增, 时 单减,
可知
当 时, < 对 >0不恒成立
当 >0时, < 对 >0恒成立等价于 < 恒成立
设 ,则 ,
知 ∈(-1,0), ………13分