循环小数化分数的方法

循环小数0.7272…循环节为7、2两位，因此化为分数为72/99=1/8。即有几位循环数字就除以几个9。又如0.123123…循环节为1，2，3三位，因此化为分数为123/999=41/333。

第一步：找到循环节

比如0.5，5循环，循环节就是5。

第二步：把循环节提前

先数出循环节有几位，假设有n位，就把这个循环小数乘以10n，使它的整数部位为循环节。

第三步：一减一除

把上一步得到的数剪去原数，再除以10n-1。

等比数列法

无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。

例如：0.333333……

循环节为3

则0.33333.....=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3*10^(-n)+……

前n项和为：0.3[1-(0.1)^(n)]/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^（n）=0

因此0.3333……=0.3/0.9=1/3

注意：m^n的意义为m的n次方。

再如：0.999999.......

循环节为9

则0.9999.....=9*10^(-1)+9*10^(-2)+……+9*10^(-n)+……

前n项和为：{0.9*[1-（0.1）^n]}/(1-0.1)

当n趋向无穷时（0.1）^n=0

因此：0.99999.....=0.9/0.9=1

解方程法

无限循环小数化分数可分为两类情况，纯循环小数，混循环小数

纯小数纯循环小数

例：0.1111…… 1的循环，我们可以设此小数为x，可得：

10x-x=1.1111……-0.1111……

9x=1

X=1/9

例：0.999999.......=1

设x=0.9999999......

10x-x=9.999999.....-0.999999.....

9x=9

x=1

关于这方面，还可以运用极限的知识加以证明，这里不在赘述。

例：将无限循环小数0.26(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.26(··)，将已知无限循环小数0.26(··)的未知分数设为X，

即0.26(··) =X——1式，令100X=100(0.26+0.0026(··))，100X=26+0.26(··)——2式，

将（2式）中的无限循环小数0.26(··)更换为X得：100x=26+X，

100X-X=26，99X= 26，X=26/99，∴X=0.26(··)=26/99，即：0.26(··)=26/99

例：将无限循环小数0.123(··)化成分数：

解题：已知无限循环小数0.123(··)，将已知无限循环小数0.123(··)的未知分数设为X，

即0.123(··)= X ——1式，令1000X=1000(0.123+0.000123(··))，

1000X=123+0.123(··)——2式，将（2式）中的无限循环小数0.123(··)更换为X得：

1000X=123+X，1000X-X=123， 999 X=123，X=123/999，X=41/333，

∴X=0.123(··)=41/333，即：0.123(··)=41/333

归纳

为了公式化，我们可以这样表示：

x·10∧b－x ，其中b是循环节的位数。这适合所有纯循环小数

混循环小数

例：0.12111…… 1的循环，同样，我们设此小数为x，可得：

1000x-100x=121.111……-12.111……

900x=109

X=109/900

例：将无限循环小数0.123(·)化成分数：

解题：已知无限循环小数：0.123(·)，将已知无限循环小数0.123(·)的未知分数设为X,

∴X=0.123(·)——1式，（1式）两边同时乘以10得：

1000X=123.(·)——2式，（2式）-（1式）得：999X=123，

X =123/999，X =41/333，∴X=0.123(·)=41/333，即：0.123(·)=41/333

归纳

它的公式是：

X·10∧（a+c）-x·10∧a，这里的a是小数点后的循环节前的数字的位数，c代表循环节位数。

带小数也适用！！

其他小数

1、有限小数化成分数：分母的首位数是1后面是0，0的个数与小数位数的个数相同，分子是把有限小数取作整数，把小数点右边的数看作整数作为分子，但不包括小数点右边十分位、百分位、千分位，...上的0，能约分的要化简，譬如：将0.678化为分数，即678/1000=339/500，0.1681=1681/10000，0.087=87/1000，0.0078=78/10000=39/5000，...；

2、带小数（混小数）化成分数：

譬如：将2.18化成分数，解：因为2.18=2+0.18，所以，2.18=2+0.18=2+（18/100）=2+（9/50）=109/50，把3.1415化成分数，∵3.1415=3+0.1415，∴3.1415=3+（1415/10000）=3+（283/2000）=6283/2000，等等以此类推，能约分的一定要化简；

3、负小数化成分数其法则、方法与以上相同：

譬如：-0. ˙186˙=-186/999=-62/333，-0.0˙87˙=-87/990=-29/330，-0.5678=-5678/10000=-2839/5000，等等依次类推，能约分的一定要化为最简分数。

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