2012年南通市中考数学试题及答案解析(3)

20．（本小题满分8分）
先化简，再求值： ，其中x＝6．
【考点】分式的化简求值．
【分析】首先把括号里面的分子分解因式，再约分化简，然后再通分计算，再把括号外的除法运算转化成乘法运算，再进行约分化简，最后把x=6代入即可求值．
【解答】解：原式=[1+2(x-2) (x+1)(x-2) ]•(x-1)(x+1) x+3
=[x+1 x+1 +2 x+1 ]•(x-1)(x+1) x+3
=x+3 x+1 •(x-1)(x+1) x+3
=x-1，
把x=6代入得：原式=6-2=5．
【点评】本题主要考查了分式的化简 求值，解答本题的关键是把分式通过约分化为最简，然后再代入数值计算．在化简的过程中要注意运算顺序．

21．（本小题满分9分）
为了了解学生参加家务劳动的情况，某中学随机抽取部分学生，统计他们双休日两天家务劳动的时间，将统计的劳动时间(单位：分钟)分成5组：30≤x＜60、60≤x＜90、90≤ x＜120、120≤x＜150、150≤x＜180，绘制成频数分布直方图．
请根据图中提供的信息，解答下列问题：
(1)这次抽样调查的样本容量是        ；
(2)根据小组60≤x＜90的组中值75，估计该组中所有数据的和为        ；
(3)该中学共有1000名学生，估计双休日两天有多少学生家务劳动的时间不少于90分钟？
【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体．
【分析】（1）把每一组的频数相加即可求出这次抽样调查的样本容量；
（2）用小组60≤x＜90的组中值乘以这一组的频数即可求出答案；
（3）用总人数乘以劳动的时间不小于90分钟的人数所占的百分比即可．
【解答】解：（1）这次抽样调查的样本容量是：5+20+35+30+10=100； （2）因为小组60≤x＜90的组中值75，
所以该组中所有数据的和为：75×20=1500；
（3）根据题意得：
1000×35+30+10 100 =750（人）．
答：该中学双休日两天有750名学生家务劳动的时间不小于90分钟．
故答案为：100，1500．
【点评】本题考查频率分布表，根据频率=频数 总数 ，知道其中任何两个量可求出其它的量，且频率和为1，频数和与样本容量相等，以及频率与所占百分比的关系等．

22．（本小题满分8分）
如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB、CD的上方，求AB和CD间的距离．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】探究型．
【分析】分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F；由于AB∥CD，则E、O、F三点共线，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
【解答】解：分别作弦AB、CD的弦心距，设垂足为E、F，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=1 2 AB=1 2 ×30=15cm，CF=1 2 CD=1 2 ×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE= OA2-AE2 = 172-152 =8cm，
在Rt△OCF中，
OF= OC2-CF2 = 172-82 =15cm，
∴EF=OF-OE=15-8=7cm．
答：AB和CD的距离为8cm．
【点评】本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

23．（本小题满分8分）
如图，某测量船位于海岛P的北偏西60º方向，距离海岛100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于海岛P的西南方向上的B处．求测量船从A处航行到B处的路程(结果保留根号)．
【考点】解直角三角形的应用-方向角问题．
【专题】计算题．
【分析】将AB分为AE和BE两部分，分别在Rt△BEP和Rt△     BEP中求解．要利用30°的角所对的直角边是斜边的一半和等腰直角三角形的性质解答．
【解答】解：∵AB为南北方向，
∴△AEP和△BEP分别为直角三角形，
再Rt△AEP中，
∠APE=90°-60°=30°，
AE=1 2 AP=1 2 ×100=50海里，
∴EP=100×cos30°=50 3 海里，
在Rt△BEP中，
BE=EP=50 3 海里，
∴AB=（50+50 3 ）海里．
答：测量船从A处航行到B处的路程为（50+50 3 ）海里．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，找到题目中的特殊角并熟悉解直角三角形是解题的关键．

24．（本小题满分8分）
四张扑克牌的点数分别是2、3、4、8，将它们洗匀后背面朝上放在桌面上．
(1)从中随机抽取一张牌，求这张牌的点数是偶数的概率；
(2)从中先随机抽取一张牌，接着再抽取一张牌，求这两张牌的点数都是偶数的概率．
【考点】列表法与树状图法；概率公式．
【分析】（1）利用数字2，3，4，8中一共有3个偶数，总数为4，即可得出点数偶数的概率；
（2）利用树状图列举出所有情况，让点数都是偶数的情况数除以总情况数即为所求的概率．
【解答】解：（1）根据数字2，3，4，8中一共有3个偶数，
故从中随机抽取一张牌，这张牌的点数偶数的概率为：3 4 ； （2）根据从中随机抽取一张牌，接着再抽取一张，列树状图如下：          
根据树状图可知，一共有12种情况，两张牌的点数都是偶数的有6种，
故连续抽取两张牌的点数都是偶数的概率是：6 12 =1 2 ．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

25．（本小题满分9分）
甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系．请根据图象，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了      h；
(2)求线段DE对应的函数解析式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上 货车．
【考点】一次函数的应用．
【分析】（1）利用图象得出CD这段时间为2.5-2=0.5，得出答案即可；
（2）利用D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），求出函数解析式；
（3）利用OA的解析式得出，当60x=110x-195时，即为轿车追上货车时，求出．
【解答】解：（1）利用图象可得：线段CD表示轿车在途中停留了：2.5-2=0.5小时； （2）根据D点坐标为：（2.5，80），E点坐标为：（4.5，300），
代入y=kx+b，得：
 80=2.5k+b 300=4.5k+b   ，
解得： k=110 b=-195   ，
故线段DE对应的函数解析式为：y=110x-195；
（3）∵A点坐标为：（5，300），
代入解析式y=ax得，
300=5a，
解得：a=60，
故y=60x，当60x=110x-195，
解得：x=3.9小时，
答：轿车从甲地出发后经过3.9小时追上货车．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用和待定系数法求一次函数解析式，根据已知得出函数解析式利用图象分析得出是解题关键．

26．（本小题满分10分）
如图，菱形ABCD中，∠B＝60º，
点E在边BC上，点F在边CD上．
(1)如图1，若E是BC的中点，∠AEF＝60º，求证：BE＝DF；
(2)如图2，若∠EAF＝60º，
求证：△AEF是等边三角形．
【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
【专题】证明题．
【分析】（1）首先连接AC，由菱形ABCD中，∠B=60°，根据菱形的性质，易得△ABC是等边三角形，又由三线合一，可证得AE⊥BC，继而求得∠FEC=∠CFE，即可得EC=CF，继而证得BE=DF；
（2）首先连接AC，可得△ABC是等边三角形，即可得AB=AC，以求得∠ACF=∠B=60°，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得∠AEB=∠AFC，证得△AEB≌△AFC，即可得AE=AF，证得：△AEF是等边三角形．
【解答】证明：（1）连接AC，
∵菱形ABCD中，∠B=60°，
∴AB=BC=CD，∠C=180°-∠B=120°，
∴△ABC是等边三角形，
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
∵∠AEF=60°，
∴∠FEC=90°-∠AEF=30°，
∴∠CFE=180°-∠FEC-∠C
=180°-30°-120°=30°，
∴∠FEC=∠CFE，
∴EC=CF，
∴BE=DF； （2）连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B=60°
∴AB=BC，∠D=∠B=60°，∠ACB=∠ACF，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠ACB=60°，
∴∠B=∠ACF=60°，
∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠EAD=∠EAF+∠FAD=60°+∠FAD，
∠AFC=∠D+∠FAD=60°+∠FAD，
∴∠AEB=∠AFC，
在△ABE和△AFC中，
∠B=∠ACF ∠AEB=∠AFC AB=AC  
∴△ABE≌△ACF（AAS），
∴AE=AF，
∵∠EAF=60°，
∴△AEF是等边三角形．
【点评】此题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意准确作出辅助线，注意数形结合思想的应用．